3.2. Установившиеся режимы работы

В том случае, когда неравенство (3.12) не выполняется, необходимо учитывать дискретный характер измерения R и исследовать систему ССР как дискретную. При этом угловая скорость в АПР системе ССР (см. рис. 3.2) определяется следующим выражением

(3.13)

Для установившегося режима работы с учётом выражений (1.28), (1.29), (1.54), описывающих W₁(p),W₂(p), U₀ , из (3.13) найдём

(3.14)

и скорость резания равна

(3.15)

Продифференцировав (3.15) дважды поR, получим

(3.16)

откуда видно, что V на уровне дискретизации N изменяется в общем случае экстремальным образом, имея максимум при значении радиуса R_экс, которое определяется из (3.16) при равенстве этого выражения нулю, т.е.

(3.17)

Опыт исследования систем ССР показывает, что R_экс всегда больше максимального радиуса обработки, т.е. R_экс >R_max, при этом выполняется записанное на основании (3.16) следующее неравенство

(3.18)

Здесь необходимо отметить, что характер процессов в исследуемых, системах ССР при переходе на более высокие и низкие уровни N остаётся одним и тем же. Поэтому в дальнейшем рассмотрение будем проводить, предполагая движение системы в сторону увеличения N.

Скорость резания в начале V_NH и в конце уровня дискретизации N определяется тем, что R принимает в крайних точках уровня N значения R_N и R_N+1, отличающиеся на шаг дискретизации r_N данного уровня

(3.19)

(3.20)

Угловая скорость шпинделя w_NH и V_Nk в начале и конце уровня N находится делением V_NH и V_NK соответственно на R_N и R_N+1.

И з выражений (3.19), (3.20) видно, что изменение скорости резания на уровне дискретизации обусловлено действием двух величин – V₃ стремится увеличить V к концу уровня, a F уменьшить её. При этом V_N может быть как больше, гак и меньше V₃ . В этом случае на изменение V_N в зависимости от её ошибки стабилизации необходимо наложить следующие ограничения

(3.21)

Система ССР работает при различных значениях F от нулевых до максимальных, поэтому при анализе неравенств (3.21) они должны быть усилены за счёт соответствующего выбора FиR.

Из (3.18) следует, что V_NK >V_NH , поэтому в первое неравенство (3.21) подставляем из (3.20) V_NK и усиливаем его, пренебрегая членом, содержащим F, получаем

_(3.22)

Это неравенство определяет на каждом уровне N шаг r_N , обеспечивающий стабилизацию V с ошибкой не ниже заданной.

В случае фиксированного шага r₀ в (3.22) необходимо положить N=0, т.к. при этом, как это следует из (3.20), V_NK максимально, отсюда можно записать

(3.23)

Второе неравенство (3.21) анализируем с помощью (3.19), усиливая его подстановкой R_Nmax – значение радиуса обработки на последнем, максимальном уровне N, откуда найдём

(3.24)

Подставив (3.24) в (3.18), определим условия, при которых выполняется (3.18), приняв в нём R=R_max, запишем

Приняв во внимание (3.22) и то, что R_max-rn ≤ R_Nmax ≤ R_max, получим из последнего выражения

(3.25)

Из неравенства (3.25) следует, что для выполнения (3.18) т.е. G≥1 необходимо обеспечить

В АППР (ПДС) системе ССР (см. рис. 3.3, рис. 3.4) угловая скорость шпинделя на уровнях дискретизации равна

(3.26)

Произведя математические выкладки, аналогичные сделанным выше, и, приняв во внимание, что K_Д определяется (1.71), найдём выражения, описывающие установившийся режим работы АППР и ПДС систем ССР

_(3.27)

, (3.28)

, (3.29)

, (3.30)

, (3.31)

. (3.32)

Учитывая справедливость для этого случая сделанных выше предположений и допущений, получим, что r_N и r₀ описываются выражениями (3.22), (3.23), а К_рv определяется следующим неравенством

(3.33)

Проверка в этом случае условия G >1 с учётом (3.33) даёт те же результаты, что и для АПР системы ССР, т.е G ≥1 при

На рис. 3.7, 3.8 показаны зависимости V_N и w_N от R в рассматриваемых дискретных системах ССР, в которых , R_д=20мм, а К_pv определяется в зависимости от V₃ , так чтобы обеспечить заданную при переменном шаге дискретизации. Анализ этих зависимостей показывает, что дискретизация R с переменным шагом позволяет значительно сократить аппаратурный состав систем при обеспечении заданной точности стабилизации скорости резания. Причём исследуемые системы обладают приблизительно равными показателями качества в установившемся режиме.

Как видно из выражений (3.14), (3.15), (3.27), (3.28) при F=0 изменение координат в системах происходит одинаковым образом. Подставив значение w_N, найденное для этого случая из (3.14) или (3.27) в (1.10), проинтегрировав и определив постоянную интегрирования, найдём зависимость радиуса R_N на уровне дискретизации N от времени

. (3.34)

Поскольку при F=0 w_n=V₃/R_N=const, то зависимость скорости резания V_N(t) от времени определяется на основании основного соотношения режима ССР (1.1) и равна

Рис. 3.7. Зависимости скорости резания от радиуса обработки в дискретных системах ССР. Кривая I при F=0; 2, 3 при F= 100 Н; 2– в АПР системе ССР; 3 - в АППР и ПДС системах ССР.

Рис. 3.8.Зависимости угловой скорости шпинделя от радиуса обработки в дискретных системах ССР. Кривая 1 при F=0; 2-F=100 Н

V_N(t)=w_N R_N (t) (3.35)

В том случае, когда F≠0 , зависимость R_N(t) в АПР системе ССР находится из (3.14) при подстановке в неё значения угловой скорости из (1.40), т.е., w=R'/K_R откуда получим

. (3.36)

решение (3.36) запишем в виде

(3.37)

Зависимость угловой скорости от времени на N уровне дискретизации определим из (3.37) на основании (1.40)

. (3.38)

Для ПДС и АППР систем ССР зависимости радиуса и угловой скорости от времени на N уровне дискретизации имеют вид

, (3.39)

. (3.40)

Зависимость скорости резания от времени в этих системах при F≠0 находится в соответствии (3.35), приняв во внимание, что угловая скорость является в этом случае функцией времени и описывается выражениями (3.38), (3.40).