10.Признак опт-ти опорн.Плана трансп.З-чи

Когда среди оценок не окажется отрицательных (все s_ij≥0), полученный план будет оптимальным. Если при этом все s_ij>0, то полученный оптимальный план единственный. В случае, если хотя бы одна оценка s_ij=0, имеем бесконечное множество оптимальных планов с одним и тем же значением целевой функции.

11.Задачи нелин.И выпуклого пр-ия.Осн.Теоремы выпукл.Пр-я

В основе теории выпуклого программирования и, в частности, линейного и квадратичного, лежит теорема Куна — Таккера о необходимых и достаточных условиях существования оптимальной точки x*: для того чтобы точка х* была оптимальной, то есть

  ,

  X = {x: g_i(x)  0, i = 1, 2, ..., k},

необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка у* = (у*₁, у*₂, ..., у*_k), чтобы пара точек х*, у* образовывала седло функции Лагранжа

  Последнее означает, что  L(x*, y) L(x*, y*)  L(x, у*)

для любых х и всех у  0. Если ограничения g_i(x) нелинейны, то теорема справедлива при некоторых дополнительных предположениях о допустимом множестве.

  Если функции (x) и g_i(x) дифференцируемы, то следующие соотношения определяют седловую точку

  , j = 1, 2, …, n;

  ; ; i = 1, 2, …, k;

  , y_i  0, i = 1, 2, …, k. Таким образом, задача выпуклого программирования сводится к решению системы уравнений и неравенств. Рассмотрим задачу нелинейного программирования

      (6)

при ограничениях

,      (7)

.        (8)

Для решения сформулированной задачи в такой общей постановке не существует универсальных методов. Однако для отдельных классов задач, в которых сделаны дополнительные ограничения относительно свойств функ­ций f(x) и  , разработаны эффективные методы их решения.

Говорят, что множество допустимых решений задачи (6) - (8) удов­летворяет условию регулярности, или условию Слейтера, если существует, по крайней мере, одна точка  , принадлежащая области допустимых ре­шений такая, что  . Задача (6) - (8) называется задачей выпуклого программирования, если функция   является во­гнутой (выпуклой), а функции     - выпуклыми.Функцией Лагранжа задачи выпуклого программирования (6) - (8) называется функция

,

где   - множители Лагранжа.

Точка   называется седловой точкой функции Лагранжа, если  для всех   и   .

Теорема 1 (Куна - Таккера): Для задачи выпуклого програм­мирования (6) - (8), множество допустимых решений которой обладает свойством регулярности,   является опти­мальным решением тогда и только тогда, когда существует такой вектор    , что   - седловая точка функции Лагранжа.

Если предположить, что функции f и   непрерывно дифференци­руемы, то теорема Куна - Таккера может быть дополнена аналитическими выражениями, определяющими необходимые и достаточные условия того, чтобы точка    была седловой точкой функции Лагранжа, т. е. являлась решением задачи выпуклого программирования:

где   и   значения соответствующих частных производных функции Лагранжа, вычисленных в седловой точке.

12.МЕТОД МН-ЛЕЙ ЛАГРАНЖА ДЛЯ З-Ч НЕЛИН.И ВЫП.ПР-Я Метод Лагранжа является аппаратом, активно используемым для обоснования различных современных численных методов, широко применяемых на практике. Рассмотрим классическую задачу оптимизации

max(min)z=F(х); φ_i(x)=b_i (i=1,m)

x=(x₁, x₂, …, x_n)

В этой задаче среди ограничений нет неравенств, нет условий неотрицательности переменных, их дискретности, m < n и функции F(х) и φ_i(x) непрерывны и имеют частные производные по крайней мере второго порядка.

Классический подход к решению задачи дает систему уравнений (необходимые условия), которым должна удовлетворять точка х*, доставляющая функции F(х) локальный экстремум на множестве точек, удовлетворяющих ограничениям (для задачи выпуклого программирования найденная точка х* одновременно и точкой глобального экстремума).

Предположим, что в точке х" функция имеет локальный условный экстремум и ранг матрицы [d_ip_i/dx_j]mxn равен m. Тогда необходимые условия запишутся в виде:

_, где есть функция Лагранжа; λ_i,... , λ_m — множители Лагранжа

Алгоритм решения ЗНЛП с применением множителей Лагранжа.

1. Составляется функция Лагранжа.

2. Находятся все стационарные точки функции L из системы уравнений (см. выше)

3. Из стационарных точек функции L, взятых без координат λ_i, ..., λ_m выбираются такие, в которых функция F имеет условные экстремумы при наличии ограничений. Этот выбор осуществляется, например, с помощью достаточных условий.

13.ТЕОРЕМА КУНА-ТАККЕРА Предположим, что существует вектор x≥0, такой, что φ_i(x)<0 (i=1,m). Тогда необходимым и достаточным условием оптимальности вектора x*, принадлежащего допустимой области, является существование такого вектора , что для всех x≥0 и имеет место неравенство:

Центральное место в теории нелинейного программирования занимает теорема Куна— Таккера, которая связывает решение ЗНП с наличием седловой точки у соответствующей функции Лагранжа. Теорема 2.3. (Достаточное условие экстремума).

Если (х, и) — седловая точка функции Лагранжа, в области x∊X⊇D, и≥0,то х является оптимальным планом задачи (2.28), причем справедливо так называемое правило дополняющей нежесткости:

Доказательство. По определению седловой точки

при всех x∊X, и≥0. Из второго неравенства в (2.32) следует, что

Однако (2.33) может иметь место только тогда, когда g_i(x)≤0 при всех i∊1:m. Действительно, если существует такое k, что g_k(x)>0, то, положив и_i=0 для всех i ≠ k и выбрав достаточно большое и_k > 0, можно добиться того, что значение

окажется больше постоянного выражения

Из того, что для всех i∊1:m выполняются неравенства g_i(x)≤0, следует, что х является допустимым планом задачи (2.28). Если в левую часть неравенства (2.33) подставить значения u_i = 0, i∊1:m, то получим, что

Вместе с тем из того что, g_i(x)≤0 и u_i ≥0, следует оценка

Совместное рассмотрение последних двух неравенств приводит к правилу дополняющей нежесткости в точке х:

Тогда на основании левой части неравенства седловой точки (2.32) имеем, что для всех х∊Х (в том числе и для х∊D)

Но условию ЗНП для любых х∊D верны неравенства g_i(x)≤0, что, в сочетании с условием u_i ≥0, позволяет записать

Значит,

Окончательно получаем, что для любых х∊D справедливо соотношение f(x)≥f(x), т. е. х — оптимальный план задачи (2.28)