4.Симплекс-метод численного реш.Злп
Существует несколько форм симплекс-метода:
- с короткой матрицей,
- с расширенной матрицей,
- двойственный алгоритм,
- модифицированный.
При рассмотрении алгоритма с короткой матрицей будем считать, что задача дана на максимум целевой функции. Если задача дана на минимум, то ее можно привести к задаче на максимум, изменив знак целевой функции. Для применения симплекс-метода ЗЛП должна быть представлена в канонической форме. Если в системе ограничений m < n и все уравнения линейно независимы, то эту систему можно разрешить относительно тех m переменных, которым в матрице ограничений соответствуют линейно независимые столбцы. Пусть независимыми будут первые m столбцов, тогда ограничения задачи можно разрешить относительно Х1, Х2, …, Хm:
Переменные Х1, Х2, …, Хm будут базисными, а переменные Хm + 1,
Хm + 2, …, Хn – свободными.
Целевую функцию надо выразить через свободные переменные:
Симплекс-алгоритм состоит в построении и последовательном преобразовании симплексной таблицы, в результате которого от начального плана можно за конечное число шагов получить оптимальный план, либо установить, что ЗЛП не имеет решения. Задачу разрешенную относительно базисных переменных, удобно представить в виде симплексной таблицы.
БП |
1 |
СП |
||
xm+1 |
… |
xn |
||
x1 |
b10 |
b11 |
… |
b1n-m |
… |
… |
… |
… |
… |
xm |
bm0 |
bm1 |
… |
bmn-m |
F |
b0 |
-bm+1 |
… |
-bn |
В F-строке записаны коэффициенты модифицированной целевой функции с обратными знаками, b0 – это значение функции при нулевых значениях свободных переменных. Если в столбце свободных членов все коэффициенты bio ≥ 0, то вектор Х = (Х1 = b10, Х2 = b20, …, Хm = bm0, Хm + 1 = 0, ..., Хn = 0) называется начальным опорным планом. Значение целевой функции равно элементу столбца свободных членов в F-строке.
Решение задачи линейного программирования симплексным методом проводится в два этапа. Сначала находится начальное базисное решение, а затем проводится направленный перебор базисных решений для получения оптимального плана.
1. Отыскание разрешающего столбца (максимальный по модулю отрицательный элемент в F-строке).
2. Выбор разрешающей строки (по наименьшему положительному симплексному отношению элементов столбца свободных членов к элементам разрешающего столбца (кроме F-строки).
3. Выбор разрешающего элемента (пересечение разрешающих строки и столбца).
4. Симплексные преобразования таблицы:
- х-переменные разрешающих столбца и строки меняются местами;
- разрешающий элемент заменяется обратной величиной;
- остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и меняют знак на противоположный;
- остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент;
- все прочие элементы таблицы вычисляются по методу прямоугольника.
После этого переходят к шагу 1.