Оценки числовой характеристики распределения

Обозначим искомый (неизвестный) параметр распределения через а. Приближенное значение параметра а вычисленное на основе выборки будем называть оценкой а* параметра а. В частности а=m_x или а=Ϭ²_х=D_x, а*= m_x* или а*= D_x*

Любая оценка, вычисленная на основе выборки конечного обьема n является функцией выборки, следовательно сама оценка является величиной случайной.

а*=а*(x1,х2,..,х_n)

Три основных свойства оценки

1. Если при увеличении n оценка а* приближается (сходится по вероятности) к параметру а, то оценка называется состоятельной.

2. Если М[a*]=a, то оценка называется несмещенной.

3. Если выбранная несмещенная оценка обладает по сравнению с другими наименьшей дисперсией, то есть D[a*]=min, то она называется эффективной.

На практике не всегда удается удовлетворить все эти требования.

Оценки математического ожидания и дисперсии.

Рассмотрим СВ Х и дисперсию Dx, причем оба параметра неизвестны. Пусть имеется выборка объема n. Требуется найти несмещенные параметры оценки Мх и Dx.

В качестве оценки Mx* естественно взять среднее арифметическое наблюденных значений:

Mx*=1\n[∑(n, i=1)x_{i (1)}

Существуют и другие способы вычисления Mx*, например Med_x. Оценка 1 является самостоятельной, тк в силу закона больших чисел (теорема Чебышева) она при увеличении n сходится по вероятности к Mx.

Оценка mx* является несмещенной, т.к.:

M[m_x*]=m[1\n*=∑(n, i=1)x_i]=1\n∑(n, i=1)M[x_i]=1\n*n*m_x

Дисперсию этой оценки надо вычислить:

D[m_x*]=D[1\n*=∑(n, i=1) x_i]=1\n²∑(n, i=1)[x_i]=1\n²*nDx=Dx\n

Т.е. D[m_x*]=Dx\n

Эффективность или неэффективность этой оценки зависит от вида закона распределения величины Х. Можно доказать, что для нормального закона распределения оценка m_x* будет эффективной. Для других законов распределения это может быть и не так.

В качестве оценки дисперсии СВ X используют величину:

D_x*=1/n-1∑(n, i=1)(x_i- m_x*)²

Можно доказать, что эта оценка является состоятельной и не смещенной. При этом в случае распределения нормально величины Х оценка будет асимптотически эффективной, то есть стремиться при неограниченном увеличении n к эффективной оценке.

Временные ряды.

X (t)

0 t0 t

Основные понятия:

Определение. Временной ряд это последовательность значений некоторого развивающегося во времени процесса, полученных в последовательные моменты времени.

Временной ряд будем обозначать как x₁, x₂…x_t или же x_t(t=1,2,….)

В общем случае промежутки времени между отдельными значениями временного ряда могут быть различными. Чаще всего на практике, если это возможно, используют одинаковый промежуток времени и обозначают Т. Т-интервал дискретизации.

Δt=x_t-x_t-1=T

Почти всегда на исследуемое закономерное явление описываемое некоторым процессом во времени влияют случайные факторы, такие как случайные помехи, ошибки и тд. Поэтому изучение временных рядов изучаются методами теории вероятности и мат. статистики. По существу временной ряд представляет собой случайный процесс с дискретным временем.

Примеры: 1. Последовательности изменений параметров технологических процессов или технических объектов.

2. Последовательность ежедневных измерений температуры воздуха

3. Последовательность ежедневных цен на акции. Курсы валют. Ежемесячные объемы продаж.

Цели и задачи анализа временных рядов.

Наиболее часто при изучении временных рядов ставятся следующие цели и задачи:

1. Краткое описание характерных особенностей ряда

2. Подбор мат. Модели временного ряда

3. Предсказание (прогнозирование) будущих значений ряда на основе текущих и прошлых наблюдений

4. Управление процессом, порождающим временной ряд

Стандартные примеры

Задача 1 В урне есть 3 белых и 2 черных шара. Вынимаются поочередно два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение:

Способ 1-с использованием теоремы умножения вероятностей.

Обозначим буквой «б» событие, что вынутый шар белый, тогда событие С, что вынутые шары белые, записывается как произведение событий «б*б» . Требуется найти

P(c)=P(б*б)

P(б*б)=P(б)*Р(б|б)

Имеем Р(б)=3/5, Р(б|б)=2/4=1/2

Следовательно Р(с) =3/5*1/2=0.3

Способ 2 с использованием схемы урн.(случаев)

Всего возможных случаев

n=C₅²

m-C₃² благоприятных

Р(с)=m/n= C₃²/ C₅²=C₃¹/C₅²=3/(5!/2!*3!)=3/(4*5)/2=0.3

Задача 2

Производятся три независимых опыта, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью 0.6. Найти вероятность того, что произойдет хоть одно событие.

Решение.

Способ 1 – разложение на элементарные события.

Пусть А_i-событие, состоящее в том, что событие А появление события в i-м опыте (i=1,2,3)

A=A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3

P(A)=P(A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3)

Все произведения событий несовместны, поэтому согласно теореме сложения:

P(A1A2A)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)

Применяя теорему умножения получим:

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.6*0.4*0.4=0.096

Остальные аналогично

P(A)=0.936

Способ 2 – переход к противоположному событию (если образуют 1)

P(A)=

P(A)=1-P(A)

Событие не произошло не разу

Очевидно A=A1A2A3

Следовательно

P(A)=P(A1A2A3) ТАК КАК СОБЫТИЯ НЕ СОВМЕСТНЫ, ТО

P(A)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.4*0.4*0.4)=0.064

P(A)=1-0.064=0,936

Задача 3

СВ Х имеет плотность распределения f(x)