Центральная предельная теорема.

Предельные законы распределения. Описываются группой теорем, объединенных общим названием «Центральная предельная теорема».

Все формы Центральной предельной теоремы (ЦПТ) посвящены определению условий при которых возникает нормальный (Гауссовский) законы распределения. Этот закон является самым распространенным из встречающихся на практике.

Нормальный закон распределения появляется во всех случаях, Когда исследуемая СВ может быть представлена в виде суммы достаточного числа зависимых ,элементарно зависимых, или слабо-зависимых слагаемых, каждая из которых в отдельности сравнительно мало влияет на сумму.

Лекция 14

Рассмотрим одну из наиболее общих форм ц.п.т.

Пусть имеется взвешенная сумма взаимнонезависимых непрерывных СВ x_1,x₂,x₃..x_n

Рассмотрим

Y_n=a₁x₁+ a₂x_2+…+ a_nx_n=∑(n, i=1) a_ix_iβ

Где а-фиксированные числа

Пусть i-ая СВ x_i имеет МО m_i и дисперсию Ϭ_i²|i=1,…n|

Согласно теореме:

m_y=M[∑(n, i=1) a_ix_i]=M[Y_n]= ∑(n, i=1) M[a_ix_i]= [∑(n, i=1) a_iM[x]= [∑(n, i=1) a_im_i

Ϭ_i²D[Y_n]=D[∑(n, i=1) a_ix_i]= ∑(n, i=1)D [a_ix_i]= ∑(n, i=1)a_i² Ϭ_i²

Последнее равенство справедливо некоторыми независимости СВ x1,x2,…xn

Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно общих условиях распределение СВ.

M=m_yn и Ϭ²= Ϭ_yn²

Y=y_n-m_yn\Ϭ_yn²

Где Ф стандартная функция

Распределение Лапласа

Опыт показывает, что когда число слогаемых n предела 10 или меньше, закон распределения суммы может быть заменен.

Вероятность того, что нормальное распределение СВ Y попадает в пределы (α,β)

Выражается формулой:

P(α<Y_n< β)=F(β)-F(α)=Ф(β-m_yn\ Ϭ_yn)-Ф(α -m_yn\ Ϭ_yn)

Дискретные СВ и центральная предельная теорема

ЦТП может применяться не только к непрерывным, но и дискретным СВ, при условии, что мы будем оперировать не плотностями, а функциями распределения.

Лекция 15 от 21.12.11 Основные понятия математической статистики.

Математической статистикой называют методы, позволяющие оценить значение неизвестных параметров и выявлять закономерности на фоне случайностей, давать оценки вероятности их выполнения или невыполнения, делать обоснованные выводы и прогнозы.

Любая оценка искомого параметра вычисленная на основе ограниченного числа опытов всегда будет содержать элемент случайностей, то есть являться СВ.

Выборка

Совокупность (множество) всевозможных значений исследуемой СВ в статистике называют генеральной совокупностью.

Число элементов генеральной совокупности весьма велико, а в случае непрерывных СВ бесконечно большое.

Важнейшим понятием математической статистики является выборка содержащая ограниченное число элементов генеральной совокупности на основе которых выявляются наиболее существенные черты изучаемого распределения.

Определение. Выборкой называют ограниченную последовательность независимых одинаково распределенных величин, принадлежащих генеральной совокупности.

X

№опыта	х
1 2 . . . n	x1 x2 . . . xn

Значение СВ Х, в соответствие значению х в порядке поступления образуют выборку.

Число n называют объемом выборки.

Выборка это первичная форма записи статистического материала, который может быть обработан различными способами, позволяющими оценить то или иное свойство исследуемой СВ.