Лекция 8
Основные свойства функции распределения:
Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при x2>x1 F(x2)>=F(x1)
При Х=+∞ F(+∞)=1
При Х=-∞ F(-∞)=0
Плотность распределения
Пусть имеется непрерывная случайная величина Х с функцией распределения F(x), которую предположим непрерывной и дифференцируемой. Тогда:
P(x ≤ X < x + ∆x)=F(x + ∆x) - F(x)
Рассмотрим предел:
lim(∆x→0) F(x+∆x)-F(x)/ ∆x=F’(x)
(3) f(x)=F’(x)
Равной производный от функции распределения
Функция f(x) называется плотностью вероятностей или плотностью распределения непрерывной величины Х. Плотность распределения так же как и функция распределения есть одна из форм закона распределения. Но она существует только для непрерывных случайных величин.
Кривая, изображающая плотность распределения СВ называется кривой распределения:
f(x)
X
α 0 x x+∆x β
Вероятность попадания случайной величины на интервал альфа, бета, выраженное через плотность распределения f(X).
Вероятность попадания на бесконечно малый интервал: x, х+∆x, согласно (2) равна:
P(x≤X<x+∆x)=F(x+∆x)≈F’(x)∆x=f(x) ∆x=f(x)dx
Величина f(x)dx=f(x)∆x называется элементом вероятности (∆x=dx). Значит вероятность попадания СВ х на конечный интервал αβ равна:
P(α≤X<β)=∫(от α до β) f(x)dx
Выражение функции распределения f(X) через плотность f(X).
По определению F(x)=P(-∞<X<x)
Отсюда получим F(x)= ∫(от x до -∞)f(t)dt
Геометрически F(x) – площадь под кривой распределения, лежащая левее точки x.
f(x)
s
0
х х
Основные свойства плотности распределения
Плотность распределения есть неотрицательная функция
Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1.
Размерность плотности распределения f(x), как видно из (2) обратна размерности случайной величины.
Д
з.
Примеры из параграфа 5,4, примеры 1, 2, 3.
Числовые характеристики СВ. (5,5 учебн.)
Закон распределения СВ представленный в той или иной форме дает исчерпывающее описание СВ.
Наиболее существенные особенности распределения СВ в сжатой форме описывается так называемыми числовыми характеристиками СВ. Они играют в Теории вероятностей и Стат. Анализе очень важную роль. С их помощью существенно облегчатся решения многих вероятностных задач. Числовых характеристик достаточно много. Рассмотрим наиболее часто применяемые.
Характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана.
Важнейшая характеристика СВ – Математическое Ожидание (МО), которую часто называют просто средним значением СВ. МО СВ обозначают M[x].
Для дискретных СВ M[x]=СУММ( i=1 до n) pi xi
M[x]= ∫(от -∞ до +∞) xf(x)dx,
mx=M[x], где М-символ или оператор МО
Модой mod СВ х называется ее наиболее вероятное значение.
0
Лекция 10 от 16.11.11