Основные теоремы Теории Вероятностей

Вся теория вероятностей в основном представляет собой систему косвенных методов, пользование которыми позволяет свести необходимый эксперимент к минимуму.

При использовании косвенных методов применяются основные теоремы теории вероятностей.

Основных теорем две: «Теорема сложения вероятностей» и «Теорема умножения вероятностей».

Заметим, что эти две теоремы могут быть доказаны для схемы случаев. Для событий, не сводящихся к схеме случаев они принимаются аксиоматически – как принципы или постулаты.

Сумма событий и произведение событий

Определение. Суммой нескольких событий Ai называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Ai (i=1,2..n) C=A1+A2…An

# Опыт состоит в трех выстрелах по мишени.

Рассмотрим событие:

А0-ни одного попадания

А1-ровно одно попадание

А2-ровно два попадания

А3-ровно три попадания

Из этих элементарных событий можно построить ряд более сложных событий. Пусть в частности события А=А0+А1-событие «не более одного попадания». Другое событие В=А2+А3-событие «не менее двух попаданий».

Определение. Произведение нескольких событий Вi(i=1,2,..,n) называется событие В=В1*В2..Вn

#Опыт состоит в произведении трех выстрелов по мишени. Рассмотрим событие:

В1-промах при первом выстреле

В2-промах при втором выстреле

В3-промах при третьем выстреле

Поострим в частности более сложное событие:

В=В1*В2*В3 – событие «ни одного попадания».

При определении вероятностей часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций более простых (элементарных) событий, применяя и операцию сложения, и операцию умножения событий.

#Опыт. Производится 3 выстрела по мишени. Пусть элементарными событиями являются:

Аi – попадание при i-м выстреле

Ai’ – промах при i – м выстреле

Лекция 5

Рассмотрим более сложное событие В – ровно одно попадание при трех выстрелах. Это событие может быть представлено в виде следующих элементарных событий:

B=A1`A2A3+A1A2`A3+A1A2A3`

Где `-попал

Пусть событие С - не менее двух попаданий, тогда:

С=A1`A2`A3`+A1`A2A3`+A1A2`A3`

Из определения следует: (А+А=А)

(А*А=А)

А) С=А+В D=AB

Теорема сложения вероятностей

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Примем эту теорему как аксиому.

В случае N-несовместных событий теорема записывается в виде:

Следствие. Если событие А1, А2,… AN составляет полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей составляет 1.

Противоположные события

Определение. Противоположными событиями называются два несовместных события, если они образуют полную группу.

А – попадание при выстреле

А`- промах при выстреле

В - орел при бросании монеты

В` - решка

С - безотказная работа всех элементов системы

С` - отказ хотя бы одного элемента

\... Изучить три примера и переписать их\...

Если два события совместны, то теорема сложения вероятностей записывается так:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Теорема умножения вероятностей

Понятие о независимых и зависимых событиях.

Событие А называется независимым (зависимым) от события В, если вероятность события А не зависит (зависит) от того, произошло событие В или нет.

#1. Бросаются две монеты. А-появление орла на первой монете. В-появление орла на второй монете. В данном случае А не зависит от В.

#2. В урне два белых и один черный шар. Опыт: два лица вынимают из урны по одному шару. Рассмотрим событие: А1- появление белого шара у 1го лица. А2-появление белого шара у 2го лица.

Вероятность события А1 до того, как известно что либо о событии А2 равна 2/3.

Если стало известно, что событие А2 произошло, то вероятность события А1 становится ½, из чего заключаем, что событие А1 зависит от события А2.

Условная вероятность.

Определение. Вероятность события А, вычисленное при условие, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается:

Р(А|B)

Для условия примера 2.

Р(А1)=2/3

Р(А1|B1)=1/2

Условие независимости события А от события В можно записать в виде:

Р(А|B)=Р(А),

А условие зависимости Р(А|B)≠Р(А)

Теорема умножения вероятностей.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равно произведению вероятности одного из них на условною вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Р(АВ)=Р(А) Р(А|B)

Очевидно, какое событие считать первым, а какое вторым, поэтому:

Р(АВ)=Р(В) Р(А|B)

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то есть Р(А|B)=Р(А), то и событие В не зависит от события А.