Основные свойства функции Лапласа:

Ф(-Z)=1-Ф(Z) 1/2

Ф (0)=1/2

Ф (-∞)=0

Ф(+∞)=1 0 Z

Рассмотрим вероятность случ. величины Х на участок m-e<x<m+e

Э то неравенство эквивалентно |x-m|<e

m-e m m+e

имеем P(m-e<x<m+e)=P(|x-m|<e)=2Ф(e/δ)-1

Лекция 12 от 30.11.11.

Теорема о числовых характеристиках.

1. Если c – не случайное (детерминированная величина), то:

а) M[c]=c

б) D[c]=0

2. Если c - не случайная величина, а Х- случайная, то:

а. M[cx]= ∫(от -∞ до +∞)cxf(x)dx=c∫(от -∞ до +∞)xf(x)dx=cM[x]

3. Математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математического ожидания аргументов.

MƩ(i=1 от n)ai*Xi+b=Ʃ(i=1 от n)ai*M[Xi]+b

Рассмотрим две СВ X и Y. Рассмотрим событие А=(a1<X<a2) и B=(b1<X<b2)

По определению СВ Х и Y называются независимыми, если вероятность произведения этих событий P(AB)=P(A)*P(B)

В общем случае, для зависимых СВ X и Y, равенство нарушается:

P(AB)=P(A)P(B|A)

На практике желательно знать степень их зависимости, связи друг с другом. Наиболее употребительными моментами связи являются корреляционные моменты ковариации

Определение:

Корреляционным моментом или ковариацией СВ X и Y называют Kxy=cov(X,Y)=M[(x-mx)(y-my)]=M[ẊẎ]

Очевидно Kxy=Kyx

Можно показать, что для независимых СВ Kxy=cov(X,Y)=0

Величина ковариации зависит от единиц изменения СВ. В качестве меры стохастической связи между СВ обычно используют независящую от единиц измерения (безразмерную) СВ, называемую коэффициентом ковариации:

Rxy=Kxy/ϛxϛy=cov(X,Y)/ ϛxϛy

Определение:

X1, X2, …, Xn называются некоррелированными , если Kij=cov(xi,xj)=0

rij=Kij/ ϛiϛj=cov(xi,xj)/ϛiϛj=0

Обратное утверждение неверно. Если моменты ковариации равны нулю, то в общем случае СВ могут быть зависимыми.

1. Пусть имеется линейная функция нескольких случайных величин.

Y=∑(i=1 от n) a_i*X_i+b, где a_i и b неслучайные величины, тогда дисперсия этой линейной функции выражается формулой.

D[Y]=D[∑(i=1 от n) a_i*X_i+b]=∑(i=1 от n) a_i²*D[X_i]+2∑(i<j)a_ia_jK_ij,

Если X_i и X_j не коррелируемые, то D[Y]=∑(i=1 от n) a_i²*D[X_i]

Предельные теоремы теории вероятностей

Закон больших чисел и центральная предельная теорема

Под законом больших чисел понимается ряд математических теорем, в которых устанавливаются факты приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.

Лекция 13 от 07.12.2011

Другая группа предельных теорем касается уже не предельных значений СВ, а предельных законов распределений. Эта группа теорем известна под названием «Центральной предельной теоремы».

Закон больших чисел.

Неравенство Чебышева: При доказательстве теорем, относящихся к группе «Закона больших чисел», используется одно весьма общее неравенство, известное, как Неравенство Чебышева.

P[|x-mx|>=E]<=Dx/E²

mx-E mx mx+E x

Правило трех ϛ:

Пусть E=3ϛx, тогда P[|x-mx|>=3ϛx]<=Dx/E²=ϛ²x/9 ϛ²x=1/9

Для реальных законов распределения, например нормального: P[|x-mx|>=3ϛx]

На практике мы как правило имеем значение мы имеем дело со СВ, значение которых выходит за mx+-3 ϛx крайне редко, поэтому на практике этот отрезок считают участком практически возможных значений величины – так называемое «Правило трех ϛ»

Теорема Чебышева: Она дает одну из наиболее важных форм «Закона больших чисел», а именно: Устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений СВ и ее мат. ожиданием (МО).

Теорема Чебышева устанавливает в точной количественной форме это свойство устойчивости среднего арифметического.

Теорема Чебышева: При достаточно большом числе n независимых опытов, среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к ее МО. (Понятия о сходимости по вероятности см. учебник)

В аналитической форме Теорема Чебышева записывается:

P[|1/nƩ(от n до i=1) x_i-m_x|<E]>=1-δ

Следствие закона больших чисел – Теорема Бернулли.

Теорема. При неограниченном увеличении числа опытов n, частота событий А сходится по вероятности к его вероятности р. Обозначим частоту события А в n опытах через P_n^*.

P[|P_n^*-p|<E]>=1-δ