- •3. Теорема о разложении определителя. Теорема Лапласа.
- •4. Обратная матрица. Процедура ее нахождения. Аннулирование матриц.
- •5. Ранг матрицы. Способы нахождения.
- •6. Невырожденные системы слау. Способы решения.
- •7. Метод Гаусса. Произвольные слау. Теорема Кронекера-Капелли.
- •8. Однородные слау. Фундаментальная система решений.
- •10. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
- •1. Умножение вектора на число:
- •2. Сумма двух векторов:
- •11. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •13. Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •18. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •19. Эллипс.
- •20. Гипербола.
- •21. Парабола.
- •22. Эллипсоид.
- •22. Гиперболоид и конус.
- •24. Параболоид.
- •30. Графики в полярной системе координат и параметрически заданных функций.
- •27. Действительные числа.
- •32. Множества и операции над ними.
- •28. Предел последовательности.
- •29. Теоремы о пределах последовательности.
- •30. Предел функции.
- •31. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •32. Односторонние пределы.
- •33. Сравнение бесконечно малых.
- •34. Теоремы о пределах.
- •35. Первый замечательный предел.
- •36. Второй замечательный предел.
- •37. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •38. Теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность на отрезке. Равномерная непрерывность.
- •39. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •40. Дифференциал. Дифференцируемость.
- •Свойства дифференциала.
- •41. Производная и дифференциал сложной функции.
- •42.Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование.
- •43. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная параметрически заданных функций.
- •50.Асимтоты. Общая схема исследования функции
- •56. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •57. Полный дифференциал. Производные высших порядков.
- •58. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.
- •59. Условный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.
30. Предел функции.
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке:
Определение ( по Коши): число А называется пределом функции в точке х0 , если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех х х0 , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Коротко это определение:
.
Определение (по Гейне):
Число А называется пределом функции в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента хn, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции , , сходится к числу А.
Односторонние пределы: число А называется пределом функции слева в точке x0, если для любого число >0 существует число = ( )>0 такое, что при выполняется неравенство .
Предел слева записывают так:
Аналогично определяется предел функции справа:
.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.
Предел функции при :
Число А называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число М=М( ) >0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Коротко:
31. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа M>0 существует число = (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство . Записывают . Коротко:
Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа M>0 найдется такое число N=N (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Коротко:
Всякая бесконечно большая функция в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности.
Бесконечно малая функция: Функция называется бесконечно малой при , если : для любого числа >0 найдется число >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство .
Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Док-во:
Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.
Док-во:
Следствие: так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.
Следствие: произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.
Теорема: частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.
Док-во:
Теорема: если функция - бесконечно малая, то обратная ей функция – бесконечно большая и наоборот.
Док-во:
32. Односторонние пределы.
число А называется пределом функции слева в точке x0, если для любого число >0 существует число = ( )>0 такое, что при выполняется неравенство .
Предел слева записывают так:
Аналогично определяется предел функции справа:
.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.