21. Парабола.
Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Расстояние от фокуса до директрисы – параметр параболы (p>0).-полуфокальный диаметр.
Парабола есть линия второго порядка.
М(х,у)
– произвольная точка параболы. Соединим
точку М с F,
проведем отрезок MN
перпендикулярно директрисе. Согласно
определению параболы MF=MN.
По формуле расстояния между 2 точкам
находим:
=>
=
=>
=>
Каноническое уравнение параболы: y2 = 2px.
22. Эллипсоид.
Исследуем поверхность, заданную уравнением:
Рассмотрим сечения поверхности с плоскостями, параллельными плоскости xOy. Уравнения таких плоскостей: z=h,где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя ур-ниями:
z=h .
Исследуем поверхность:
А)
если
то
Линия
пересечения поверхности с плоскостями
z=h
не существует.
Б)
если
,
линия
пересечения вырождается в две точки
(0,0,с), и (0,0,-с). Плоскости z
= c,
z
= - c
касается данной поверхности.
В)
если
,
то уравнения можно переписать в виде:
,
как видно, линия пересечения есть эллипс
с полуосями а1 =
,
b1
=
.
При этом, чем меньше h,
тем больше полуоси. При н=0 они достигают
своих наибольших значений. а1=а, b1=b.
Уравнения примут вид:
h=0.
Рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность как замкнутую овальную поверхность. Поверхность называется эллипсоидами., если какие-либо полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а если а=b=c, то в сферу.
22. Гиперболоид и конус.
1.
Исследуем поверхность
.
Пересекая
поверхность
плоскостью
z=h,
получим линию пересечения, уравнения
которой имеет вид
z=h. или z=h
полуоси:
а1=
b1=
полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0: а1=а, b1=b. При возрастании h полуоси эллипса будут увеличиваться. =>
х=0.
Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением, имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность называется однополостным гиперболоидом.
2.
-уравнение
поверхности.
и
- поверхность,
состоящая из 2 полостей, имеющих форму
выпуклых неограниченных чаш. Поверхность
называется двухполостным
гиперболоидом.
3. Конус второй степени
Каноническое уравнение:
a = b - конус вращения (прямой круговой).
Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).