6. Невырожденные системы слау. Способы решения.

СЛАУ принято записывать в матричной форме, когда сами неизвестные не указываются, а указывается только матрица системы А и столбец свободных членов В.

Решение невырожденных СЛАУ методом Крамера:

Х=А^-1*В

А^-1=

X1= (A₁₁b₁ + A₂₁b₂ + …+A_n1b_n)

Теорема: (Крамера): решение невырожденных уравнений АХ=В, можно записать так:

, Ак получается из А путем замены к-го столбца на столбец свободного члена В.

7. Метод Гаусса. Произвольные слау. Теорема Кронекера-Капелли.

Система уравнений (СУ), содерж m-уравнений и n-неизвестных наз. системой вида a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁ … a_M1x₁+a_M2x₂+…+a_Mnx_n=b_m, где a_ij – коэф системы и изменяется от 1 до n. Расширенной матрицей наз матрица, сост из исходной матрицы А и свободных .

Решением системы наз n значений неизвестных x₁=c₁ … x_n=c_n, при подстановке которых все ур-ия системы обращаются в верное равенство.

Система уравнений наз. совместной, если имеет хотя бы одно решение, иначе она несовместна. Совместная система наз. определённой, если она имеет единственное решение.

Системы наз. равносильными, если они имеют одно и то же решение.

Замечание: эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях при условии, что преобраз вып только под строками.

СЛАУ наз однородной, если все свободные члены=0.

Теорема Кронекера-Капелли: система лин алг ур-ий совместна, когда rangA=rang (волнистая). Теорема: если rang совместной системы= числу неизвестных, то система имеет одно решение. Теорема: если ранг совмест сист < числа неизвестных, то система имеет бесконеч решений.

Правило решения СУ.

1)найти ранг основной и расширенной матрицы (если rA не =rA с крыш, то система несовместна.

2) если rA=rA с крыш и =r, то система совместна и надо найти базисный минор порядка r.

3)Берём r ур-ий из коэф которых составлен базисн минор. Остальные ур-ия отбрасываем. Неизвестные, коэф которых входят в минор наз главными. Из оставл слева, а остальные (n-r) – справа.

4)Найти выражения главных неизв через свободные. Получено общее решение системы

5)Придавая свободным низвестным произвольное значение, получим соотв значения главн неизв, т.е. найдём частные решения.

8. Однородные слау. Фундаментальная система решений.

АХ=В – система и параллельно рассмотрим систему

АХ=0. (АХ=В – Неоднородн. СЛАУ, АХ=0 – однородн. СДАУ).

Одновременно выполняется:

1. АХ=0 имеет тольок тривиальное решение, АХ=В имеет единственное решение или не имеет решений совсем.

2. АХ=0 имеет нетривиальное решение, АХ=В имеет бесконечное число решений.

Рассмотрим подробнее 2-ой случай: r(A) = r(A с волной сверху)<m..

M – r(A) – дефект, количество свободных неизвестных.

Пример:

,

б.м: х₁, х₂

св.м: х₃, х₄.

х₂ + х₃ +2х₄ = 1., х₂ = 1 – а – 2b, х₃ = а, х₄ = b.

х₁ = -2х₂ – х₃ + х₄ + 1 = -2 + 2а +4b – а + b+1 = -1 + а + 5b.

Ответ: (-1 + а + 5b., 1 – а – 2b , а, b)^Т.

Хо – общее решение ОСЛАУ

Х (с волной) – общее решение НСЛАУ