- •3. Теорема о разложении определителя. Теорема Лапласа.
- •4. Обратная матрица. Процедура ее нахождения. Аннулирование матриц.
- •5. Ранг матрицы. Способы нахождения.
- •6. Невырожденные системы слау. Способы решения.
- •7. Метод Гаусса. Произвольные слау. Теорема Кронекера-Капелли.
- •8. Однородные слау. Фундаментальная система решений.
- •10. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
- •1. Умножение вектора на число:
- •2. Сумма двух векторов:
- •11. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •13. Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •18. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •19. Эллипс.
- •20. Гипербола.
- •21. Парабола.
- •22. Эллипсоид.
- •22. Гиперболоид и конус.
- •24. Параболоид.
- •30. Графики в полярной системе координат и параметрически заданных функций.
- •27. Действительные числа.
- •32. Множества и операции над ними.
- •28. Предел последовательности.
- •29. Теоремы о пределах последовательности.
- •30. Предел функции.
- •31. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •32. Односторонние пределы.
- •33. Сравнение бесконечно малых.
- •34. Теоремы о пределах.
- •35. Первый замечательный предел.
- •36. Второй замечательный предел.
- •37. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •38. Теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность на отрезке. Равномерная непрерывность.
- •39. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •40. Дифференциал. Дифференцируемость.
- •Свойства дифференциала.
- •41. Производная и дифференциал сложной функции.
- •42.Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование.
- •43. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная параметрически заданных функций.
- •50.Асимтоты. Общая схема исследования функции
- •56. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •57. Полный дифференциал. Производные высших порядков.
- •58. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.
- •59. Условный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.
18. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Пусть плоскость задана уравнением Ах +By + Cz + D=0, а прямая L уравнениями . Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через угол между плоскостью и прямой.
.
Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы n и S перпендикулярны, а потому , т.е.
=0 является условием параллельности прямой и плоскости.
Если прямая L перпендикулярна плоскости Q, то векторы n и S параллельны. Поэтому равенства
являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.
Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости:
Рассмотрим прямую и плоскость Ах +By + Cz + D=0.
Одновременное выполнение равенств:
Аm +Bn+ Cp =0
Ах0+By0 + Cz0 + D=0 являются условием принадлежности прямой плоскости.
19. Эллипс.
Геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости (обычно называемых фокусных) постоянна, называется эллипсом.
Если оси координат расположены так, что Ox проходит через фокусы F1(C,0) и F2(-C,0), а О(0,0) совпадает с серед отрезка F1F2, то по F1М+F2M получаем:
каноническое ур-ие эллипса ,
b2=-(с2-a2).
а и b- полуоси эллипса., а-большая, b-меньшая.
Эксцентриситет. , (если а>b)
(если а<b)
Эксцентриситет характеризует выпуклость эллипса.
У эллипса эксцентриситет находится: 0 .
Случай =0 возникает только тогда, когда с=0, а это есть случай окружности – это эллипс с нулевым эксцентриситетом.
Директрисы (D) Геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до точки эллипса к расстоянию от этой точки эллипса до фокуса постоянно и равно величине , называется директрисами. .
Примечание: у окружности нет директрисы.
20. Гипербола.
Геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости постоянна, называется гиперболой.
Каноническое уравнение гиперболы: , где .
Гипербола есть линия второго порядка.
Гипербола имеет 2 асимптоты: и
Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны. (а=b). Каноническое уравнение:
Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы:
Так как для гиперболы с>а , то эксцентриситет гиперболы >1.
Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: . Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен равен .
Директрисы – прямые .
Фокальные радиусы: и .
Есть гиперболы, которые имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.