56. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
Для функции двух
переменных вводится понятие предела
функции непрерывности, аналогично
случаю функции одной переменной. Введем
понятие окрестности точки. Множество
всех точек М(x,y)
плоскости, координаты которых
удовлетворяют неравенству
,
называется
-окрестностью
точки
.
Другими словами,
-окрестность
точки
- это все внутренние точки круга с
центром
и радиусом
.
Пусть функция z=f(x,y)
определена в некоторой окрестности
точки
,
кроме, быть может, самой это точки. Число
А называется пределом функции z=f(x,y)
при
и
,
если для любого
существует
такое, что для всех
и
и удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
.
Записывают:
или
.
Из определения
следует, что если предел существует,
то он не зависит от пути, по которому М
стремится к
(число таких
направлений бесконечно). Геометрический
смысл предела функции: каково бы ни
было число
,
найдется
-окрестность
точки
,
что во всех ее точках
,
отличных от
,
аппликаты соответствующих точек
поверхности z=f(x,y)
отличаются от числа А по модулю меньше,
чем на
.
Непрерывность
функции двух переменных.
Функция z=f(x,y)(или
f(M))
называется непрерывной в точке
,
если она: а)определена в этой точке и
некоторой ее окрестности; б)имеет предел
;
в)этот предел равен значению функции
z
в точке
,
т.е.
или
.
Функция, непрерывная в каждой точке
некоторой области, называется непрерывной
в этой области. Точки, в которых
непрерывность нарушается, называются
точками разрыва этой функции. Точки
разрыва z=f(x,y)
могут образовывать целые линии разрыва.
Так, функция
имеет линию разрыва y=x.
Функция z=f(x,y)
называется непрерывной в точке
,
если выполняется равенство
,
т.е. полное приращение функции в этой
точке стремится к нулю, когда приращения
ее аргументов x
и y
стремятся к нулю.
Частные производные
нескольких переменных. Пусть задана
функция z=f(x,y).
Т.к. x
и y
– независимые переменные, то одна из
них может изменяться, а другая сохранять
свое значение. Дадим независимой
переменной x
приращение
,
сохраняя значение y
неизменным. Тогда z
получит приращение, которое называется
частным приращением z
по x
и обозначается
. Итак,
.
Аналогично получаем частное приращение
z
по y:
.
Полное приращение
функции z
определяется равенством
.
Если существует предел
,
то он называется частной производной
функции z=f(x,y)
в точке M(x,y)
по переменной x
и обозначается
.
Частные производные по x
в точке
обычно обозначают символами
.
57. Полный дифференциал. Производные высших порядков.
Пусть функция
z=f(x;y)
определена в некоторой окрестности
точки M(x,y).
Составим полное приращение функции в
точке М:
.
Функция x=f(x,y)
называется дифференцируемой в точке
M(x,y),
если ее полное приращение в этой точке
можно представить в виде:
,
где
и
при
,
.
Сумма первых двух слагаемых в равенстве
представляет собой главную часть
приращения функции. Главная часть
приращение функции z=f(x;y),
линейная относительно
и
,
называется полным
дифференциалом
этой функции и обозначается символом
dz:
dz=
A*
+B*
.
Выражения A*
и B*
называют частными дифференциалами.
Для независимых переменных x
и y
полагают
=dx
и
=dy.
Поэтому равенство можно переписать в
виде: dz=A*dx+B*dy.
Полный дифференциал
функции называют также дифференциалом
первого порядка. Пусть функция z=f(x,y)
имеет непрерывные частные производные
второго порядка. Дифференциал второго
порядка определяется по формуле
.Найдем
его:
.
Отсюда:
.
Символически это записывается так:
.
Аналогично можно получить формулу для
дифференциала третьего порядка:
.
Получается, что:
