11. Нормальный закон распределения вероятностей.

Нормальный закон распределения

Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности. Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

         Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры  и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

13 Проверка статистической гипотезы о равенстве средних значений. Проверка статистических гипотез о равенстве средних

Под статистической гипотезой понимаются различного рода предположения относительно характера или параметров распределения случайной переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты в случайной выборке.

Следует иметь в виду, что проверка статистической гипотезы имеет вероятностный характер. Также как мы никогда не можем на 100% быть уверены в том, что какой-либо выборочный параметр совпадает с параметром генеральной совокупности, мы никогда не можем абсолютно точно сказать, верна или ложна выдвинутая нами гипотеза.

Для того чтобы проверить статистическую гипотезу необходимо следующее:

1.      Преобразовать содержательную гипотезу в статистическую: сформулировать нулевую и альтернативную статистические гипотезы.

2.      Определить зависимые[12] или независимые у нас выборки.

3.      Определить объем выборок.

4.      Выбрать критерий.

5.      Выбрать уровень значимости, контролирующий допустимую вероятность ошибки первого рода, и определить область допустимых значений.

6.      Посчитать значение критерия и сравнить его с критическим.

7.      Отвергнуть или принять нулевую гипотезу.

Теперь рассмотрим каждый из шести пунктов более подробно.

Формулировка гипотезы

В статистических задачах часто бывает нужно сравнить средние двух разных выборок[13]. Например, нас может интересовать разница средних зарплат мужчин и женщин, средних возрастов неких групп <А> и <В> и т.д. Или же, сформировав две независимые экспериментальные группы, мы можем сравнивать их средние с целью проверить, насколько различается, скажем, воздействие двух разных лекарств на кровяное давление или насколько размер группы влияет на отметки студентов. Иногда бывает так, что мы разбиваем совокупность на две группы попарно, то есть, имеем дело с близнецами, супружескими парами или одним и тем же человеком до и после какого-либо эксперимента и т.д. Чтобы стало более ясно, рассмотрим характерные примеры, где применяются различные критерии о равенстве средних.

14. Проверка статистической гипотезы о законе распределения.

Для выбора метода проверки статистической гипотезы необходимо определить закон распределения переменной, основываясь на результатах выборочных наблюдений. Чаще всего задача исследователя состоит в том, чтобы доказать подчинение наблюдаемых значений нормальному закону распределения.

Определение функции распределения переменных проводят с помощью критериев согласия (Пирсона, Колмогорова и т.д.). При ограниченном количестве наблюдений (менее 30) более оправданно использование приближенных методов (таких как графический) для оценки закона распределения переменной.

В качестве примера наблюдений рассмотрим продуктивность участка штамповки. На протяжении месяца посуточно регистрировался фактический показатель продуктивности участка в единицах изготовленной продукции. Опираясь на собранные данные, начальнику участка необходимо оценить функцию распределения показателя. Исходные данные и результаты анализа, Вы сможете найти в прикрепленном к статье файле, доступном для всех зарегистрированных пользователей.

В первую очередь, выстроим результаты наблюдений по возрастающей: от наименьшего значения до наибольшего. Следующим шагом будет расчет накопленной частоты (обозначим как W). Накопленная частота будет рассчитана следующим образом:

W_i = i / ( n + 1 )

где i – результат наблюдения, а n – общее количество наблюдений.