3. Равновозможные события.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

Примеры равновозможных событий:

1) выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;

2) появление 1,3, 4, 5 очков при бросании игральной кости;

3) появление карты бубновой, червонной, трефовой масти при вынимании карты из колоды;

4) появление шара с №1, 2, 3 при вынимании одного шара из урны, содержащей 10 перенумерованных шаров.

Существуют группы событий, обладающие всеми тремя свойствами: они образуют полную группу, несовместимы и равновозможны; например: появление герба и цифры при бросании монеты; появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости. События, образующие такую группу, называются случаями (иначе «шансами»).

Например, при бросании игральной кости возможны шесть случаев: появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Из них событию  – появлению четного числа очков – благоприятны три случая: 2, 4, 6 и не благоприятны остальные три.

Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события   в данном опыте можно оценить по относительной доле благоприятных случаев. Вероятность события   вычисляется как отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев:

,        (2.2.1)

где Р(А) – вероятность события  ;   – общее число случаев;  – число случаев, благоприятных событию  .

Так как число благоприятных случаев всегда заключено между 0 и   (0 – для невозможного и  – для достоверного события), то вероятность события, вычисленная по формуле (2.2.1), всегда есть рациональная правильная дробь:

      (2.2.2)

Формула (2.2.1), так называемая «классическая формула» для вычисления вероятностей, долгое время фигурировала в литературе как определение вероятности. В настоящее время при определении (пояснении) вероятности обычно исходят из других принципов, непосредственно связывая понятие вероятности с эмпирическим понятием частоты; формула же (2.2.1) сохраняется лишь как формула для непосредственного подсчета вероятностей, пригодная тогда и только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев, т.е. обладает симметрией возможных исходов.

3. Теоремы сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий   равна сумме вероятностей этих событий

(2.1)

Доказательство. Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий   и  .

Пусть событию   благоприятствуют   элементарных исходов, а событию   исходов. Так как события   и   по условию теоремы несовместны, то событию   благоприятствуют   элементарных исходов из общего числа n исходов. Следовательно,

,

где   — вероятность события  ;   — вероятность события  .

Пример. Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины:  . Тогда вероятность поступления к складу хотя бы одной из этих машин будет

P(А₁+А₂) = 0,2 + 0,4 = 0,6.