- •Основные понятия теории вероятности.
- •Непосредственный подсчет вероятностей.
- •1. Полная группа событий.
- •2. Несовместимые события.
- •3. Равновозможные события.
- •Теоремы сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •Теоремы умножения вероятностей Теорема умножения вероятностей
- •Теорема Байеса
- •«Физический смысл» и терминология
- •Следствие
- •Основные числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •Основные числовые характеристики непрерывных случайных велечин.
- •Равновероятностный закон распределения вероятностей.
- •Биноминальный закон распределения вероятностей.
- •Экспоненциальный закон распределения вероятностей.
- •Нормальный закон распределения вероятностей.
- •13 Проверка статистической гипотезы о равенстве средних значений. Проверка статистических гипотез о равенстве средних
- •Формулировка гипотезы
- •14. Проверка статистической гипотезы о законе распределения.
- •15. Проверка статистической гипотезы об однороности дисперсий
- •16. Проверка статистической гипотезы о статистической взаимосвязи
- •17. Корреляционный анализ. Виды уравнений регрессии.
- •18. Расчет параметров уравнения регрессии
- •Оценка качества регрессионной модели
- •19. Проверка гипотезы об адекватности.
- •20. Линейная однофакторная регрессионаая модель
- •21. Степенная регрессионная модель
Основные числовые характеристики непрерывных случайных велечин.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b].Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл. Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:
При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.
Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины. Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.
Равновероятностный закон распределения вероятностей.
Рассматривая вышеприведенные законы распределения случайной величины, пришлось подчеркнуть различия в их проявлении при условиях: прерывно ли распределение случайных величин или непрерывно?
Другое название этого закона – равномерное, или прямоугольное распределение, несет в себе больше информации о кривой этого закона. Вероятность наступления случайного события А на рассматриваемом промежутке одинакова в любой точке из промежутка[в; с]. Для Р/Р плотность
где в, с – параметры З/Р/Р.
Функция распределения для З/Р/Р имеет вид: где в, с – параметры З/Р/Р.
Биноминальный закон распределения вероятностей.
Биноминальное распределение - это распределение вероятностей возможных чисел появления события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью Р(А) = р = const. Кроме события А может произойти также противоположное событие Ā, вероятность которого Р(Ā) = 1 - р = q.
Вероятности любого числа событий соответствуют членам разложения бинома Ньютона в степени, равной числу испытаний:
где pn - вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит n раз;
qn - вероятность того, что при n испытаниях событие А не наступит ни разу;
- вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз, а событие Āнаступит n-m раз;
- число сочетаний (комбинаций) появления события А и Ā.
Числовые характеристики биноминального распределения:
М(m)=np - математическое ожидание частоты появления события А при n независимых испытаниях;
D(m)=npq - дисперсия частоты появления события. А;
- среднее квадратическое отклонение частоты.
Экспоненциальный закон распределения вероятностей.
Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.
Случайная величина X имеет экспоненциальное распределение с параметром λ > 0, если её плотность имеет вид
.
Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно 1 / λ. Сам параметр λ тогда может быть интерпретирован, как среднее число новых покупателей за единицу времени.
В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины X задана первым уравнением, и будем писать: X∼Exp(λ).
Функция распределения
Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения: