59. Локальная формула Тейлора. Единственность.

Пусть ф-ия f имеет в т. x₀ конечн произв-ую порядка n, тогда запись ф-лы Тейлора f(x)=f(x₀)+ (f’(x₀)/1!)*(x- x₀)+…+(f⁽ⁿ⁾( x₀)/n!)*(x-x₀)ⁿ+o[(x-x₀)ⁿ] при x→x₀ наз локальной ф-лой Тейлора, а величина r_n(x₀,x)=o[(x-x₀)ⁿ]-остаточным членом в форме Пеано.

Единственность.

Пусть f(x) можно представить в в окр-ти т.x₀ по локальной ф-ле Тейлора, тогда не сущ-ет полинома P(x) степени n отлич от полинома Тейлора T_n(x₀,x) для которого было бы справедлива аналитич представление f(x)=P(x)+ o[(x-x₀)ⁿ] при x→x₀.

60. Представление остаточного члена формула Тейлора в формах Лагранжа и Коши.

Пусть ф-ия f(x) имеет (n+1)производную f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) в некотор окр-ти конечн тчк x₀, тогда остаточн член Тейлора f(x) может быть записан в форме Лагранжа r_n(x₀,x)=(f⁽ⁿ⁺¹⁾(c_x)/(n+1)!)*(x-x₀)ⁿ⁺¹, где С_x=x₀+θ_x(x-x₀)0< θ_x<1-некотор точка между x и x₀.

Остаточный член в форме Коши:

61. Разложение по формуле Маклорена важнейших элементарных функций.

Формулой Маклорена назыв. формула Тейлора при а = 0:

62. Примеры приложений формулы Тейлора.

Для задан на отр-ке [a,b] ф-ия f(x) и задан числа ε>0 найти такой P(x), котор приближает ф-ию f(x) на отрез-ке [a,b]: |f(x)-P(x)|<ε, a≤x≤b. Если f непрер на [a,b] и имеет достаточн производн на [a,b] можно выбрать полином Тейлора T_n(x₀,x) для ф-ии f(x) где x₀є[a,b].Степень n полинома подбирается из оценки отстаточн члена |r_n(x₀,x)|<ε,a≤x≤b.

63. Условия монотонности дифференцируемой функции.

Пусть ф-ия f:(a,b)→R имеет произв-ую f’:(a,b)→Ř, тогда

хар-тер монотон f(x) связан с производ f’(x) связан таким образом: 1)f’(x)≥0f возрастает 2)f’(x)>0f строго возраст 3)f’(x)=0f=const 4)f’(x)≤0f убывает 5)f’(x)<0f строго убывает.

64. Достаточное условие локального экстремума функции в терминах 1-ой производной.

Пусть ф-ия f непрерывн в некотор окр-ти т.x₀ и дифф-ма в прокол окр-ти т.x₀,тогда:

1)если при перех через т.x₀ производн f’ меняет знак, то т.x₀-т.экстремума для f, а именно:а)т.строгого минимума, если f’ меняет знак с «-» на «+»;б)тчк строгого максим, если f’ меняет знак с «+» на «-»;

2)если при перех через т.x₀, не имеет знак то в т.x₀ экстремума нет.

65. Достаточное условие локального экстремума в терминах высших производных.

Пусть ф-ия f:X→R имеет в некотор окр-ти т.x₀ n производных и выполнен след условия: 1)f’(x₀)=f’’(x₀)=…=f^(n-1)(x₀)=0; 2)f⁽ⁿ⁾(x₀)≠0, т.е n-номер 1-ой отличн от 0 конечн проив в т.x₀, тогда а)если n=2k+1,т.е n-нечёт, то в т.x₀ f экстремума не имеет; б)если n=2k, т.е n-чётн, то в т.x₀:строгий локал максимум, при f^(2k)(x₀)<0; строгий локальн миним f^(2k)(x₀)>0.

66. Различные определения выпуклости функции.

1)ф-ия f:(a,b)→R наз вниз(вверх) на (a,b), если на ∀ внутрен интервале (x₁;x₂)c(a;b) выполн нер-во f(x)≤l(x)(f(x)≥l(x)) (1), где y=l(x)-ур-ие хорды, соед тчк (x₁;f(x₁)) и (x₂;f(x₂)) При этом если (1)нер-во строгое, то ф-ия f назыв строго выпуклой вниз(вверх). 2)Ф-ия f(x) наз выпуклой вниз на (a,b), если на ∀ внутр нер-ве (x₁,x₂)є(a,b) для неё выполн усл (f(x)-f(x₁))/(x-x₁)≤(f(x₂)-f(x))/(x-x₂)