1.Множества и операции над ними.

Множество – совокупность объектов(элементов)

Способы задания: 1. Перечисление элементов,

2. определение по св-ву(четность и т.п)

3. задание мн-ва с помощью другого мн-ва

ОП. Если все элементы мн-ва А принадлежат мн-ву

В, то А – под-мнво В.

ОП. А и В называются равными, если каждое из них Содержится в другом.

ОП. Если А принадлежит В и А не равно В, то А –

собственное подмн-во В

ОП. Если а принадлежит В, то дополнение А до В

Наз. Мн-во А’=В\А

2. Аксиоматика множества действительных чисел.

Мн-во R наз. Мн-вом действительных(веществ.)

Чисел, а его эл-ты действ. Или веществ. Числами

Если выполнена след. Сист условий, наз.

Аксиоматикой действ. Чисел.

Аксиома сложения: 1. Х+у=у+х(коммутативность)

2. х+(у+в)=(х+у)+в (ассоциативность)

3. существование нейтрального эл-та (ноль)

4. существование обратного эл-та х+(-х)=0

Аксиома умножения:1. ху=ух(коммутативность)

2. х(ув)=(ху)в (ассоциативность)

3. сущ. Нейтр эл-та (единица)

4. сущ. Обратного эл-та (1/х*х=1)

Аксиома связи сложения и умножения:

Х(у+в)=ху+хв (дистрибутивность)

Аксиома порядка:

1.(Х <=у) и (y<=х)

• Х=у

2. х меньше у и у меньше в, след. Х меньше в.

Аксиома связи порядка и операции слож. И умнож.

Если х<y то, x+b<y+b, xb<yb

Аксиома полноты:

Для всех х из Х , у из У при х меньше или равно у,

Сущ в из R, что х< в<y

3. Границы числовых множеств. Теорема о гранях.

Числовое мн-во – любое подмн-во из R

ОП. Пусть Е не пустое числ. Мн-во, тогда х’

Его макс эл-т., если для всех х из Е: х<=x’,

Минимальный –наоборот.

ОП. Числовое мн-во Е наз. Ограниченным сверху,

Если для него сущ. Хотя бы 1 число М из R, что

Для всех х из Е: х<=M, тогда число М – верхн.

Граница мн-ва Е.

ОП. Супремиум – наименьшая из верхних границ.

ОП. Инфимум – наибольшая из нижних границ.

Теорема( о гранях): Всякое непустое, ограниченное

Сверху(снизу) мн-во действ. Чисел имеет единств.

Конечную верхнюю(нижнюю) грань.

4. Понятия последовательности, её предела, сходимости и расходимости.

Последовательностью эл-тов мн-ва Х называется

Отображение f: N => X.

ОП. Послед., у которой все эл-ты совпадают, наз.

Постоянной.

ОП. послед. наз сходящейся если для нее сущ.

Такое число а, что для любого Эпс. > 0 можно

Указать n_Эпс начиная с которого выполн.

Нер-ство: |Хn -а|<Эпс. При n>= n_Эпс

В терминах окрестн :

Для любой U(a) сущ n_u, что для всех n>= n_u:

Xn принадлежит U(a).

ОП. Если послед-ть НЕ имеет в качестве

Предела какое-либо число- Расходящаяся.

5. Общие свойства пределов последовательностей.

ОП. Посл-ть наз. Ограниченной, если огранич.

Мн-во ее членов.

Теорема: 1. Любая окрестность предела содерж.

Все ее члены, кроме конечного их числа.

2. сходящ послед. Ограничена

3. послед. Может иметь лишь 1 предел.

4. Предел постоянных, если Хn=а для всех n, то

Lim(Xn) = а, n стремиться к + бесконечности.

6. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.

Теорема: lim(Xn)=a, lim(Yn)=b, тогда если a<b,

То начиная с некотор. Элемента Xn< Yn

Или если Xn<Yn то и a<b

Теорема( о сжатой переменной):Пусть начиная

С некоторого элемента Xn<Yn<Zn и lim(Xn)=

=lim(Zn)=a, то сущ. Lim(Yn)=a.

7-8.Бесконечно малые послед-ти и их свойства.

Бесконечно большие последовательности и их свойства.

ОП. Посл-ть, предел которой равен нулю, наз.

Бесконечно малой.

Теорема: 1. Сумма двух б.м.п=б.м.п

2. б.м.п умножить на огранич. Послед = б.м.п

3. б.м.п умножить на б.м.п. = б.м.п.

Теорема: Для того, чтобы посл-ть сходилась к

Числу а, необходимо и достаточно, чтобы

Xn=a+ Bn , где Bn – б.м.п.

Посл-ть наз б.б.п, если выполнено условие:

Для всех М>0 сущ. n_M, что для всех n>= n_M:

|Xn|>M.

Теорема.(о связи б.м.п и б.б.п):

Если Хn – б.м.п, то 1/Xn – б.б.п.

9.Предельн перех в ариф опер-ях для посл-ей.

Теорема. Предел суммы или произведения

Послед-тей равен сумме или произведению

Их пределов.

Лемма. Если lim(Yn)=b и не равен нулю, то

Начиная с некоторого номера определена

Послед-ть, которая явл. Ограниченной.

Теорема. Пусть сущ. Lim(Xn)=a при n->+беск.

И lim(Yn)=b при n->+беск. При чем Yn не

Равно нулю для всех n, тогда послед-ть

(Xn / Yn) сходится и предел частного

Равен частному пределов.