- •3. Границы числовых множеств. Теорема о гранях.
- •4. Понятия последовательности, её предела, сходимости и расходимости.
- •5. Общие свойства пределов последовательностей.
- •6. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.
- •9.Предельн перех в ариф опер-ях для посл-ей.
- •10. Неопределённые выражения
- •15. Лемма о вложенных отрезках
- •17. Критерий Коши для числовой последовательности. Фундаментальные последовательности.
- •18. Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности.
- •19. Существование верхнего и нижнего пределов последовательности.
- •20. Нижний и верхний пределы и сходим-ти послед-ти.
- •21. Отображения и их основные типы
- •22. Обратимые и обратные функции. Теорема о существовании обратной для монотонной функции.
- •23. Разл. Формы опред предела функции по Коши.
- •24. Односторонние пределы функции.
- •25. Эквивалентность определений функций по Гейне и по Коши.
- •26. Общие свойства пределов функций. Предельный переход и арифметические операции.
- •27. Неравенства и предельный переход для ф-ий.
- •28. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •29. Теорема о пределе композиции функций.
- •32. Эквивалентность функций.
- •33. Пределы монотонных функций. Верхний и нижний пределы функции.
- •34. Некоторые замечательные пределы для функций.
- •35. Критерий Коши существования предела функции.
- •36. Различные формы определения непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •37. Локальные свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности композиции функций.
- •38. Теоремы о существовании корня и о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •39. 1Ая теор Вейерштрасса об огранич непрерыв ф-ии.
- •40.2Ая теор Вейерштрасса об экстримал значен непрерыв ф-ии.
- •41. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора и следствие из неё.
- •42. Определение и непрерывность степенной функции с иррациональным показателем. Теорема о непрерывности элементарной функции.
- •43. Определение и условия дифференцируемости функции в точке.
- •44. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •45. Односторонние и бесконечные производные.
- •46. Дифференцирование арифметической комбинации функций.
- •47. Производная композиции и обратной функции.
- •48. Вычисление табличных производных.
- •49. Гиперболические функции и их производные.
- •50. Производные высших порядков.
- •51. Формула Лейбница
- •52. Дифференциалы высших порядков.
- •59. Локальная формула Тейлора. Единственность.
- •67. Аналитические условия выпуклости функции.
- •68. Необходимое условие перегиба функции.
- •69. Достаточные условия перегиба.
- •70. Асимптоты графика функции. Порядок построения графика функции
67. Аналитические условия выпуклости функции.
Опр1. f:(a,b)->R называется вып вниз(вверх) , если на люб внутр интервале f(x)<=l(x) | f(x) >=l(x), где y=l(x) –уравн хорды, между A(x1;f(x1)) и B(x2; f(x2)). Если нерав строгое, то f - строг выпукл. Геометр смысл вып означает, что точки графика лежат не выше (не ниже) хорды интервала. Опр2. f(x)=<((x2-x)/(x2-x1)) * f(x1) + ((x-x1/(x2-x1)) * f(x2), x1<x<x2. Опр3. ф-ция называется вып ?, если на любом внутр.интервале (a,b) выполняется условие: ( f(x)-f(x1) )/(x-x1)=<( f(x2)-f(x) )/(x2-x).
68. Необходимое условие перегиба функции.
Опр.Пусть ф-ция определена и непрерывна на отрезке [a;b] т.Xoє[a;b] наз. т. перегиба ф-ции, если сущ. Ů(Хо),что в обеих её полуплоскостях ф-ция строго выпукла с разными направлениями выпуклости. Теор1.(Необходимые условия перегиба) Пусть ф-ция диф-ма в некоторой Ů(Хо) в т Хо она имеет перегиб в т. (Хо;f(Xo)),когда при Х=Хо вып-тся условие:1. f”(Xo)=0 2. f”(Xo)=беск. не прин. R~3. не сущf”(Xo)
69. Достаточные условия перегиба.
Пусть ф-ция удовлетворяет след. условиям: 1.ф-ция дважды диф-ма в некоторой Ů(Хо) и непрер в т. Хо 2.f”(x)!=0 и имеет разные знаки слева и справа от Хо, тогда Хо- точка перегиба для ф-ции. Теор2(2ое достаточное условие перегиба) Пусть ф-ция в некоторой Ů(Хо) имеет производные до порядка n включительно (n>=2),причем n – номер первой, отличной от нуля производной в этой точке: f”(Xo)=f”’(Xo)=…=f^(n-1)(Xo)=0, f^n(Xo)!=0, тогда, при Х=2*k+1, т . n-точка перегибаф-ции, а при нечетном – нет.
70. Асимптоты графика функции. Порядок построения графика функции
Опр1. Прямая y=k*x+b-наклонная асимптота графика f:X->R,если вып-тся хотя бы одно из условий: 1. Lim [f(X)-(k*x+b)]=0 (x-> - беск, хєХ) 2. Lim [f(X)-(k*x+b)]=0 (x-> + беск, хєХ) Опр2. Прямая х=а – вертикальная асимптота графика f:X->R,если вып-тся хотя бы один из пределов: Lim f(X) = + беск (x-> а+0, хєХ) Lim f(X) = - беск (x-> а+0, хєХ) Теор. Для того чтобы график ф-ции имел при x-> + беск. наклонную асимптоту сущ. Двух конечных предельных значений: Lim f(x)/x=k и Lim [f(x)-k*x]=b Порядок построения графиков 1. D(f) 2. Выяснить, нельзя ли построит график с помощью преобразований графиков основн элементарных ф-ций. 3. Исследовать ф-цию на четность, нечетность, периодичность. 4. Исследовать ф-цию на непрерывность в т. разрыва. 5. Выяснить асимптотическое поведение ф-ции при переходе к граничным т. D(f),в частности найти асимптоты, если они сущ. 6. Найти промежутки монотонности и указ, её локал экстремумы. 7. Уточнить х-р выпуклости графика и указ. т. Перегиба 8. Другие особенности графика (знак ф-ции, пересечение ) 9. Построить эскиз графика.