48. Вычисление табличных производных.
Теорема.
Пусть
y=F(u), где u=j(x), тогда
Вычислим
производную от функции:
Данную функцию можно представить как функцию от функции следующим образом:
Согласно теореме о сложной функции имеем:
Все производные, возникшие после взятия производной от сложной функции, являются табличными. Подставляя далее вместо функции u её выражение, окончательно получим:
49. Гиперболические функции и их производные.
1)ф-ии ch, sh, th определены и непрерывн на всей действительн оси. А сth определен и непрерыв на R\{0}. 2)ch2x-sh2x=1; ch2x+sh2x=ch2x; sh2x=2shx*chx; ch2x=(1+ch2x)/x; sh2x=(ch2x-1)/2; 1-th2x=1/ch2x; cth2x-1=1/sh2x;
3)chx-чёт, остальн нечёт.
4)Производные (shx)’= ((ex-e-x)/2)’=(ex+e-x)/2=chx; (chx)’=shx; (thx)’=1/ch2x; (cthx)’=-1/sh2x
50. Производные высших порядков.
f:X→R
наз-ся n-кратно-дифф-мой
на открыт мн-ве X,
если она имеет произв до порядка n
включительно Ф-ия f:X→R
бесконечно дифф-мой на мн-ве Х, если в
каждой т. xєX
она имеет производные любого порядка
n.
Вычисление:1)Pn(x)=a0+a1x+…+anxn=>Pn(n)=n!an;
2)f(x)=ax=>f(n)(x)=ax*(lna)n;
3)(sinx)(n)=sin(x+nπ/2);
4)(cosx)(n)=cos(x+nπ/2);
5)d/(dxn)ln(1+x)=(-1)n-1*(n-1)!/(1+x)n;
6)
dn/(dxn)(1+x)α=α(α-1)…(α-n+1)(1+x)α-n.
51. Формула Лейбница
Если ф-ия u=u(x) и v=v(x) имеют произв-ую, то в этой тчк справед ф-ла Лейбница (uv)(n)=∑Cnku(n-k)v(k).
52. Дифференциалы высших порядков.
Дифф-лом n-ого порядка или n-ым дифф-лом dny от ф-ии y=f(x) в некотор тчк наз диффер в этой тчк от её (n-1)-ого дифф-ла: dny= d(dn-1y).
Св-ва:1)α,β=const: dn(αu+βv)=α*dnu+β*dnv;
2)Умнож обе части ф-лы Лейбница в случ независ переем x на (dx)n получим: dn(uv)=∑Cnkdn-ku*dkv;
3)Дифф-лы высш порядков при n≥2 для ф-ии y=f(x) не обл св-вом инвариантности в случ, когда аргумент x явл зависим перемен(исключ случ линейн ф-ии x(t)=at+b)
53. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Теорема Ферма.
Пусть ф-ия f:X→R дифф-ма во внутр т. x0єX и имеет локальн экстремум в этой тчк, тогда необходимо f’(x0)=0.
54. Теорема Ро’лля
Пусть ф-ия f:
1)непрерывная на отрезке [a,b];
2)имеет производ f’(x)єŘ на интервале (a;b);
3)на концах отрезка имеет равн знач f(a)=f(b) тогда сущ cє(a,b) в кот производн f’(c)=0.
55. Теорема Лагранжа о конечных приращениях и следствия из неё.
Пусть ф-ия f(x) непрерывн на [a;b] и имеет f’(x)єR на (a;b) тогда существ cє(a;b), что f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a). Следств1: f(x) удовл на [a;b]условиям теор Лагранжа, тогда, ели f’(x)≠0 ∀xє[a;b], то f(x) строго монотонна на [a;b]. Следств2: Пусть ф-ия f:X→R диф-ма на пром-ке X и f’(x)=0 xєX, тогда f(x)=const, xєX.
56. Обобщённая формула конечных приращений.
Пусть ф-ии f и g:
1)непрерывн на [a;b];
2)диф-мы в смысле Ř на (a;b);
3)для ∀ xє(a;b) имеем g’(x)≠0; Тогда сущ такая т.c є(a;b), что (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)
57. Правило Лопиталя.
Пусть ф-ии f(x) и g(x):
1)диф-мы в окр-ти т.aєŘ(за искл возможн сам этой тчк) g’(x)≠0;
2)f(x),g(x)-бесконечн малые, или бесконечн большие при x→a;
3)в Ř сущ-ет lim(f’(x)/g’(x))[ x→a] , тогда сущ-ет и lim(f(x)/g(x))=lim(f’(x)/g’(x)) [x→a].
58. Формула Тейлора для многочлена и произвольной функции.
Представление многочлена P(x) в степени n в виде P(x)=p(x0)+(p’(x0)/1!)*(x- x0)+(p”( x0)/2!)*(x- x0)+… назыв ф-лой Тейлоа для многочлена в т. x= x0.
Пусть f:u(x0)→R-произвольн ф-ия, имеющ в т. x0єR конечн производн до порядка n включит, тогда многочлен Tn(x0,x)=f(x0)+ (f’(x0)/1!)*(x- x0)+…+(f(n)( x0)/n!)*(x-x0)n называется многочленом Тейлора степени и для ф-ии f(x) в точке x0.