- •3. Границы числовых множеств. Теорема о гранях.
- •4. Понятия последовательности, её предела, сходимости и расходимости.
- •5. Общие свойства пределов последовательностей.
- •6. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.
- •9.Предельн перех в ариф опер-ях для посл-ей.
- •10. Неопределённые выражения
- •15. Лемма о вложенных отрезках
- •17. Критерий Коши для числовой последовательности. Фундаментальные последовательности.
- •18. Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности.
- •19. Существование верхнего и нижнего пределов последовательности.
- •20. Нижний и верхний пределы и сходим-ти послед-ти.
- •21. Отображения и их основные типы
- •22. Обратимые и обратные функции. Теорема о существовании обратной для монотонной функции.
- •23. Разл. Формы опред предела функции по Коши.
- •24. Односторонние пределы функции.
- •25. Эквивалентность определений функций по Гейне и по Коши.
- •26. Общие свойства пределов функций. Предельный переход и арифметические операции.
- •27. Неравенства и предельный переход для ф-ий.
- •28. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •29. Теорема о пределе композиции функций.
- •32. Эквивалентность функций.
- •33. Пределы монотонных функций. Верхний и нижний пределы функции.
- •34. Некоторые замечательные пределы для функций.
- •35. Критерий Коши существования предела функции.
- •36. Различные формы определения непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •37. Локальные свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности композиции функций.
- •38. Теоремы о существовании корня и о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •39. 1Ая теор Вейерштрасса об огранич непрерыв ф-ии.
- •40.2Ая теор Вейерштрасса об экстримал значен непрерыв ф-ии.
- •41. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора и следствие из неё.
- •42. Определение и непрерывность степенной функции с иррациональным показателем. Теорема о непрерывности элементарной функции.
- •43. Определение и условия дифференцируемости функции в точке.
- •44. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •45. Односторонние и бесконечные производные.
- •46. Дифференцирование арифметической комбинации функций.
- •47. Производная композиции и обратной функции.
- •48. Вычисление табличных производных.
- •49. Гиперболические функции и их производные.
- •50. Производные высших порядков.
- •51. Формула Лейбница
- •52. Дифференциалы высших порядков.
- •59. Локальная формула Тейлора. Единственность.
- •67. Аналитические условия выпуклости функции.
- •68. Необходимое условие перегиба функции.
- •69. Достаточные условия перегиба.
- •70. Асимптоты графика функции. Порядок построения графика функции
10. Неопределённые выражения
а)Сумма б.б.п. и огранич. послед-ти = б.б.п.
б)Пусть Xn и Yn – б.б.п. одного знака,
их сумма – б.б.п. того же знака.
в)Произведение двух б.б.п = б.б.п.
г)Произведение б.б.п. на послед-ть, сходящ.
к А, где А не равно нулю – б.б.п.
д)Частное б.б.п. и послед-ти, сходящ.
к А, где А не равно нулю – б.б.п.
е)Частное огранич. послед-ти на б.б.п =
= б.м.п
ж)Частное послед-ти, сходящ.
к А, где А не равно нулю, на б.б.п. =
=б.м.п.
11. Теорема о пределе монотонной последовательности.
Теорема. Любая монотонная послед-ть имеет
конечн. или бесконечн. предел. Если послед-ть
ограничена, то ее предел конечный.
Для неогранич послед – предел (+/- беск)
(возрастающая/убывающая)
12. Число е.
Послед-ть Xn = (1+1/n)n – сходится.
и равна числу e( экспонента)
е = 2,718281828459045…
e – иррациональное число
у=х в степени е обознач . “у=expx”.
13. Нахождение некоторых стандартных пределов.
Теорема. Справедливы след. выраж. :
а) Если b>0, то lim( 1/nb)=0 при n->+беск.
б) для всех b из R и а: |a|>1
lim(nb / an)=0 при n->+беск.
в) lim(корень n степени из n) = 1, n->+беск.
г)если а>0, то lim(корень n степени из а)=1
n->+беск.
д)для всех а из R : lim(an/n!)=0, n->+беск.
14. Сравнение бесконечно малых и бесконечно большихпоследовательностей. О – символика.
ОП. Для послед-тей Xn и Yn принято исп.
Xn=o(Yn) , n->+беск, если сущ. такая б.м.п
Bn что для всех n: Xn= Bn*Yn
Xn=o(Yn) для всех Эпс>0, сущ. nэпс
что для всех n>=nэпс: |Xn|<=Эпс * |Yn|
ОП. Если Xn и Yn – б.м.п., то Xn – б.м.п
более высокого порядка, если Xn=o(Yn) ,
n->+беск.
ОП. Для посл-тей Xn и Yn принята запись
Xn=O(Yn) , n->+беск , если для них сущ.
такая б.б.п. Bn, что Xn= Bn*Yn
ОП. Если для посл-тей Xn и Yn сущ. конечн.
lim( Xn/Yn ) не равный нулю, то это
обозначают так: Xn = O*(Yn), n->+беск.
ОП. Послед-ти Xn и Yn наз. эквивалент.
если сущ. lim( Xn/Yn )=1, n->+беск.
обознач. так : Xn ~ Yn
15. Лемма о вложенных отрезках
Пусть задана посл-ть вложенных отрезков
[ An; Bn ], длины которых стремятся
к нулю, тогда сущ. только 1 точка С,
которая принадлежит всем отрезкам.
16. Принцип выбора в R,Ř,Ŕ. Пусть x1 ,x2 , …, xn – послед-ть,
n1<n2< …<nk<.. –строго возраст.
послед. натуральных чисел, тогда
Xn(1), Xn(2), Xn(3),…, Xn(k) наз.
подпослед. послед-ти
(Xn)n=1в степени бесконечн.
и обознач:(Xn k)n=1в степени бесконечн.
Лемма Больцано-Вейерштрасса.
(Принцип выбора в R) : Из любой огранич.
послед-ти можно выделить сходящ.
подпослед-ть.
Теорема(Принцип выбора в R с волной):
Из всякой посл-ти можно выделить сход.
в R с волной подпослед-ть.
17. Критерий Коши для числовой последовательности. Фундаментальные последовательности.
Для любого Эпс>0 сущ nэпс | для всех
m,n>=nэпс : |хm – хn|<Эпс
ОП. Послед-ть называется фундамент.,
если для нее выполн. усл. Критер. Коши.
ОП. Числовое мн-во Х из R наз. полным,
если все фундамент. послед-ти этого
мн-ва сходятся в Х.