- •3. Границы числовых множеств. Теорема о гранях.
- •4. Понятия последовательности, её предела, сходимости и расходимости.
- •5. Общие свойства пределов последовательностей.
- •6. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.
- •9.Предельн перех в ариф опер-ях для посл-ей.
- •10. Неопределённые выражения
- •15. Лемма о вложенных отрезках
- •17. Критерий Коши для числовой последовательности. Фундаментальные последовательности.
- •18. Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности.
- •19. Существование верхнего и нижнего пределов последовательности.
- •20. Нижний и верхний пределы и сходим-ти послед-ти.
- •21. Отображения и их основные типы
- •22. Обратимые и обратные функции. Теорема о существовании обратной для монотонной функции.
- •23. Разл. Формы опред предела функции по Коши.
- •24. Односторонние пределы функции.
- •25. Эквивалентность определений функций по Гейне и по Коши.
- •26. Общие свойства пределов функций. Предельный переход и арифметические операции.
- •27. Неравенства и предельный переход для ф-ий.
- •28. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •29. Теорема о пределе композиции функций.
- •32. Эквивалентность функций.
- •33. Пределы монотонных функций. Верхний и нижний пределы функции.
- •34. Некоторые замечательные пределы для функций.
- •35. Критерий Коши существования предела функции.
- •36. Различные формы определения непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •37. Локальные свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности композиции функций.
- •38. Теоремы о существовании корня и о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •39. 1Ая теор Вейерштрасса об огранич непрерыв ф-ии.
- •40.2Ая теор Вейерштрасса об экстримал значен непрерыв ф-ии.
- •41. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора и следствие из неё.
- •42. Определение и непрерывность степенной функции с иррациональным показателем. Теорема о непрерывности элементарной функции.
- •43. Определение и условия дифференцируемости функции в точке.
- •44. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •45. Односторонние и бесконечные производные.
- •46. Дифференцирование арифметической комбинации функций.
- •47. Производная композиции и обратной функции.
- •48. Вычисление табличных производных.
- •49. Гиперболические функции и их производные.
- •50. Производные высших порядков.
- •51. Формула Лейбница
- •52. Дифференциалы высших порядков.
- •59. Локальная формула Тейлора. Единственность.
- •67. Аналитические условия выпуклости функции.
- •68. Необходимое условие перегиба функции.
- •69. Достаточные условия перегиба.
- •70. Асимптоты графика функции. Порядок построения графика функции
18. Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности.
Конечное число (или +/- беск.) наз.
частичным пределом послед-ти,
если в ней есть подпослед-ть, сходящ.
к этому пределу.
Теорема. ( Критерий Гейне) : чтобы
послед-ть сходилась, нужно :
для всех U(a) сущ. nu | для всех n>nu :
xn принадлежит U(a)
19. Существование верхнего и нижнего пределов последовательности.
ОП. Верхними и нижними пределами
наз. соотв. пределы:
lim(Xn) (верхний) =limsup{xn , xn+1, …}=
=limsup{xk} , k>=n, n->+беск. везде.
lim(Xn) (нижний)= liminf{xn , xn+1, …}=
= liminf{xk} , k>=n, n->+беск. везде.
Теорема. Для любой посл-ти xn сущ.
оба предела: верхний и нижний.
Теорема. 1) Если посл-ть ограничена,
то ее верхн. и нижн. пределы явл.
соотв. наибольш. и наименьш. из
частичных пределов. 2) Для посл-ти
(Xn)n=1в степени бесконечн.,неогранич.
сверху, верхний предел = +беск.
(Xn)n=1в степени бесконечн., неогранич.
снизу, нижний предел= -беск.
Теорема. (Критерий сходимости в R с
волной в терм. верх и нижн пределов)
Для того, чтобы посл-ть была сх-ся в R
с волной, нужно чтобы ее верхний и
нижний пределы совпадали.
20. Нижний и верхний пределы и сходим-ти послед-ти.
ОП. Отображением наз. все подмн-ва
F декарт. произведения X *Y, если на F
выполн. усл: для всех х из Х сущ 1 у из У:
(х,у) принадлежат F. Обознач. F: X -> Y
ОП. Отображ F: X -> Y наз.:
1) сюръективн. если каждая точка из У-
образ эл-та из Х.
2)инъективн, если различные точки
переходят в различные.
3) биективн, и то и другое.
F-1: Y->X обратн. для F: X -> Y
ОП. Композиция отображений G:X->Y
и F:Y->Z наз. отображ. F(G(X)) или
(F¤G):X->Z
ОП. Графиком функции у=f(x), х из Х наз.
мн-во Гf точек плоскости Oxy (декарт.
плоскость) с координатами ( x; f(x) )
21. Отображения и их основные типы
Отображение мн-ва Х в мн-ве У называется правило По которому каждому эл-ту х из Х ставится в соотв.у из У.
ОП. Графиком отображения наз. Мн-во, сост.
Из всех упорядоченных пар.
22. Обратимые и обратные функции. Теорема о существовании обратной для монотонной функции.
ОП. Функция обратима на мн-ве Х, если
осущ. биекцию этого мн-ва. обратная –
f-1(x) => F:Y->X
Теорема. График обратн. функции симм.
графику исходной функ. относ. y=x
Теорема. Каждая строго монотонная
функ. имеет обратн. ф-цию f-1 :f(x)->X
Эта обратн. ф-ция. явл. строго монотонн.
в том же смысле что и f.
23. Разл. Формы опред предела функции по Коши.
ОП. Элемент а из R с волной или а=беск
будем наз. предельной точкой мн-ва
Е из R, если в люб. его окрестн. U(а)
содерж. бесконечн. мн-во точек из E.
ОП. Точка a из R с волной или а=беск
наз. изолирован. точкой мн-ва Е, если
а принадл. Е и а не явл. предельн. для Е
ОП. Точка а из R с волной или а=беск.
наз. внутренней точкой мн-ва Е, если
она принадлежит Е с некотор. своей
окрестностью.
ОП.(Общее определение предела
ф-ции по Коши в терм. окрестностей)
Пусть а из R с волной или а=беск –
предельн. точка мн-ва Х. Тогда эл-т
Т из R с волной или Т=беск явл. предел.
ф-ции f:X->R при х->a по мн-ву Х, если
для всех окрест. UT в точке Т найдется
такая проколот. окрест. U(a), что все
точки мн-ва Х, попавш. в U(a) отображ.
в UT
ОП.(В терминах Эпс-Гамма)
Пусть а из R с волной – предельн. точка
мн-ва Х(т.е. х-> a), тогда limf(x)=b для
всех Эпс>0 сущ. Гаммаэпс>0 | дла всех
х из Х:0<|x-a|< Гаммаэпс =>|F(x)–b|< Эпс