32. Эквивалентность функций.

ОП.Если для f(x) и g(x) сущ. конечный предел

при х->a, х из Х: lim ( f(x)/g(x) )=k (не нулю)

то принятно обозначать: F(x) = O^*(g(x))

если k=1, то функции эквивалентны.

Теорема. Если f(x)~g(x) при х->a, х из Х, то

справедливы след. равенства:

1)f(x)=B(x)*g(x) , B(x) ->1 ,x->a ,х из Х

2)f(x)=g(x)+o(g(x)), x->a, х из Х

ОП. f(x)=g(x)+o(g(x)), x->a, х из Х –

асимптотическое равенство.

33. Пределы монотонных функций. Верхний и нижний пределы функции.

Теорема. Пусть f:X->R – монотонн. на мн-ве

Х ф-ция и пусть а=infX и b=supX – предельн.

точки мн-ва Х,тогда в R с волной сущ. одност.

пределы: f(a+0)=limf(x),x->a, f(b-0)=limf(x),x->b

ОП.Пусть а из R с волной или а=беск. – предел.

точка мн-ва Х, верхним и нижн. пределами

f:X->R в точке а наз. соотв. пределы:

limf(x) (x->a)=limsupf(x), где х из пересечения Х и

проколот. U(a,r), r->0 –верхний предел.

limf(x) (x->a)=liminff(x), где х из пересечения Х и

проколот. U(a,r), r->0.

34. Некоторые замечательные пределы для функций.

1)Lim(1+1/n)ⁿ=e 2) lim( n^b/aⁿ)=0 ,|a|>1, b из R

3)lim(корень n степени из n) = 1, n->беск. ВЕЗДЕ

4)lim(корень n степени из а)=1

5)lim(log_an/n^b)=0 b>0, a>0, a не равно 1.

6)lim(aⁿ/n!)=0 a из R с волной.

7)lim( (ln(1+x))/x)=1 ,x->0

8)lim((e^x-1)/x)=1, x->0

9)lim((1+x)^b-1)/x)=b, x->0

35. Критерий Коши существования предела функции.

Для того, чтобы сущ. конечный предел:

limf(x) , х->a,принадл. R  для всех Эпс>0,сущ.

прокол. U(a) |для всех x₁ ,x₂ из пересеч.

прокол. U(a) и Х : |f(x₁) – f(x₂)|<Эпс

ОП. Колебание функции – sup{|f(x₁) – f(x₂)|}

36. Различные формы определения непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва.

Ф-ция f:X->R по мн-ву Х наз. непрерывной

в т. а из Х, если в этой точке она имеет конечн.

предел равный f(a), т.е. сущ. limf(x)=f(a), x->a.

ОП. В терминах Эпс-гамма.

Для любого Эпс>0 сущ Гамма>0 | для всех х из

Х: |x-a|<Гамма => |f(x)-f(a)|<Эпс.

ОП. В терм. окрестностей.

Для любой окрестн. V(f(a)) сущ. окрест. U(a):

f(пересеч. U(a) и Х) принадлежит V(f(a))

ОП. В терм. приращений.

Ф-ция непрерывна в точке, если бесконечно

малое приращение аргумента в точке соотв.

бесконечно малому приращ. ф-ции в точке.

1)Устранимая точка разрыва – если пределы

справа и слева равны. (x->a+0 , x->a-0)

2)Точка разрыва 1 рода если пределы слева

и справа конечные, но не равны.

3) Точка разрыва 2 рода, если хотя бы 1

предел не существует или бесконечный.

ОП. Скачок функции: дельта f=f(a+0)-f(a-0)

37. Локальные свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности композиции функций.

Если ф-ция f(x) непрерывна в точ.

a из Х, а ф-ция g:Y->R непрерывна в точке

b=f(a), то их композиция g¤f:X->R непрерыв.

в точке а.

38. Теоремы о существовании корня и о промежуточных значениях непрерывной функции.

Теор(о сущ. корня непрерыв.ф-ии)Пусть ф-ия f непрерыв. на отр.[a,b] и на концах этого отрезка принимает знач. разных знаков, тогда внутри отр. сущ. такая точка С, что f(c)=0. Теор(о промеж. знач. непрерыв. ф-ии )Пусть f –непрерыв. на некотором промежутке и в точках a и b этого промеж. принимает разные знач. f(a)=A и f(b)=B, A≠B, тогда для любой т.С лежащ. между А и В найдётся такая точка х₀ между a и b, что f(x₀)=C.