42. Определение и непрерывность степенной функции с иррациональным показателем. Теорема о непрерывности элементарной функции.

Степенная ф-ия вида y=x^α, где αєR.

αєR\Q, т.к. α-иррац.число x^α при x>0 и α>0

можно осуществ след обр.Пусть (α_n’)_n=1^∞ и (α_n’’)_n=1^∞ рац приближение с недостатком и с избытком. Очевидно, (α_n’)↑ и (α_n’’)↓ и соотв (x^α’) ↑ и (x^α’’) ↓. Поэтому [x^α’, x^α’’]-посл-ть вложен отрезков, покажем что их длины стремятся к 0 x^α’’- x^α= x^α’(x^{α’’-α’}-1), это можно записать x^α’(e^{(α’’-α’)lnx}-1)~x^α’(α_n’’- α_n’)*lnx=(x^α’*lnx)/10ⁿ→0 при n→+∞. По лемме о влож отрезках limx^α’= limx^α’’=c, n→+∞. Это значение c и приним за зн-ние x^α при α-иррац. Ф-ия непрерывн на области определения. (Теор о непрерывн элементар ф-ии)Каждая элементарн ф-ия непрерывна во всех точках своей естеств обл опр.

43. Определение и условия дифференцируемости функции в точке.

f:X→R наз диф-ой во внутр точке xєX, если существ такое AєR, что прирощение в виде f(x+h)-f(x)=A*h+o(h) при h→0(1), или f(x+h)-f(x)=A*h+α(h)*h, где α(h)→0, при h→0. Услов диф-ти 1 можно записать ещё в виде ∆y=A*∆x+o(∆x), при ∆x→0.

44. Геометрический смысл производной и дифференциала.

Геометр смысл производной. Если y=f(x) диффу-ема в т. x₀, то к графику ф-ии в т.M₀(x₀,y₀) можно провести касат, угловой коэффициент будет = значению произв-ной в т.x₀.(т.е.=tgα наклона касат) y-y₀=y’(x₀)(x- x₀)-ур-ние касател к кривой в т.M₀. y-y₀=(1/y’(x₀))*(x- x₀)-ур-ние нормали к кривой в т.M₀. Геометр смысл дифференциала. Приращение ординаты касательной соотв приращениюна dx. Чем меньшн dx, тем точнее приближ рав-во ∆y≈dy.

45. Односторонние и бесконечные производные.

Односторонними производн ф-ии f:X→R в т.x₀єX назыв след пределы: производная слева

f’_-(x₀)=lim(f(x)-f(x₀))/(x-x₀) [x→ x₀ и x< x₀]= lim(f(x+h)-f(x))/h [h→0, h<0] производн справа f’₊(x₀)=lim(f(x)-f(x₀))/(x-x₀) [x→ x₀ и x> x₀]= lim(f(x+h)-f(x))/h [h→+0].

Бесконечные произв-ые. Принято говорить что f:X→R имеет в точке xєX бесконечную произв-ую, если в этой тчк она удовлетв след условиям: 1)f непрерывна 2)существ lim|(f(x+h)-f(x))/h|=+∞ [h→0].

46. Дифференцирование арифметической комбинации функций.

Пусть ф-ии u=u(x)и v=v(x) дифференц в т.x и с-постоянная, тогда: 1)u+v дифф-ма в т.x, причём (u+v)’=u’+v’; 2)u*v дифф-ма в т.x и (u*v)’=u’v+uv’; 3)(c*u)=c*u’; 4)Если v(x)≠0, то u/v дифф-ма в т.x, причём (u/v)’=(u’v-uv’)/v².

47. Производная композиции и обратной функции.

Производная комозиций. Пусть ф-ия y=f(x) дифф-ма в т.x, а ф-ия z=g(y) дифф-ма в соотв точке y=f(x), тогда композиция z=(g o f)’(x)=(g(f(x)))’=g’(f(x))*f’(x). Производная обратной ф-ии. Пусть ф-ия y=f(x), xє[a,b] строго монотонна, непрерывна на [a,b] и имеет произв-ую в некотор т.x их (a,b), тогда обратная ф-ия x=f^-1(y) имеет произв-ую в тчк y=f(x), причём (f^-1)’(y)=1/f’(x)