24. Односторонние пределы функции.

ОП. Пусть f: X->R и а – предельн. точка

мн-ва Х, U^-_{прокол.}(а) в пересеч с Х не равно

нулю для всех проколот. U^-(a), тогда

пределом слева ф-ции f в точке а в мн-ве

Х наз. предел: f(a-o):=limf(x) .,x->a-0

предел справа аналог, только a+0

ОП. Пределы слева и справа – одностор.

пределы.

Теорема. Пусть f: X->R, тогда для сущ.

предела в а необход. и достат., чтобы в

этой точке сущ. и совпадали оба одностор.

предела.

25. Эквивалентность определений функций по Гейне и по Коши.

ОП.(опр. предела ф-ции по Гейне):Пусть

а из R с волной или а=беск, предел. точка

мн-ва Х, тогда B из R с волной или B=беск.

наз. предел. ф-ции f:X->R при х->a по мн-ву

Х, если для люб. посл-сти

(Xn)_n=1^{в степени бесконечн.}, сход. к а соотв.

посл-сть значен. ф-ции f(Xn)_n сходится к В.

Теорема. Опр. предел. ф-ции по Коши и по

Гейне эквивалентны.

26. Общие свойства пределов функций. Предельный переход и арифметические операции.

ОП. Ф-ция f:X->R наз. ограниченной, если

мн-во ее знач. огранич. и сверху и снизу.

Теорема.1)Если f:X->R постоянна в U_прокол(а)

а из R с волной, а = беск., то limf(x) x->a

равна этой постоянной.

2)Если limf(x) x->a сущ, то он единственный.

3)ф-ция, имеющ. конечн. предел в точке а

из R с волной или а=беск. огранич. в некотор.

прокол. окрестн. этой точки.

Теорема. limf(x)=B x->a limg(x)=C x->a тогда

сущ. конечные. lim[f(x)+g(x)]=B+C

тоже самое произведение и частное.

27. Неравенства и предельный переход для ф-ий.

Теорема. Справедливы утвержд:

1) Если limf(x)=B и B>C, то сущ такая окрестн.

U(a) проколотая, что для всех х из(U(a)

в пересеч. с Х):f(x)>C

2) аналогично если limf(x)>limg(x), то сущ

окрестность что B>C .. см. выше.

Теорема.(о сжатой переменной) Пусть в

проколот. U(a) выполн. нер-ство f(x)<=g(x)<=

<=h(x) и limf(x)=limh(x)=B из R с волной, тогда

сущ limg(x)=B. везде х->B.

28. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

ОП. Ф-ция наз. бесконечно малой при х->a,

если limf(x)=0 x->a.

св-ва аналогичные как в б.б.п. и б.м.п

Теорема. Для того, чтобы ф-ция была б.б.ф

при х->a, х из Х, нужно чтобы 1/f(x) была

б.м.ф. при х->a , х из Х.

Теорема.(о предельном переходе для ф-ций)

в арифм. комбинациях и неравенствах

допускаются обобщения, когда соотв. ф-ции

имеют пределы в R с волной.

29. Теорема о пределе композиции функций.

Теорема. Пусть заданы ф-ции f:X->Y

g:Y->Z, для кот. выполнены след. усл:

1)Сущ. предел. внутр. ф-ции: limf(x)=B

х->a ,(B из R с волной и В =беск.)

2)f(x) не равно B

3)Сущ предел внешн. ф-ции limg(y)=C

при у->B тогда в т. х сущ. и придел

композиции этих ф-ций limg(f(x))=C

x->a

30. Вычисление. lim(1+1/x)^x=e x->беск.

док-во. : если [x] –цел. часть х, то [x]<=

<=x<[x]+1, тогда имеем очевидн. нер-во:

(1+1/([x]+1)^[x]<(1+1/x)^x<(1+1/[x])^[x]+1

предел крайних выражен. существ и

равен е. По теор. о сжатой переменной

=> lim(1+1/x)^x=e

31. O-символика для функций. ОП.Пусть ф-ции f,g:X->R и а –предельн. точка

для Х. Принята запись:

f(x)=o(g(x)) при х->a, x из Х, если сущ. такая

б.м. при х->a , х их Х ф-ция B(x), что

f(x)=B(x)*g(x)

ОП. если g(x) – б.м.ф и f(x)=o(g(x)) при x->a

то f(x) наз б.м.ф более высокого порядка

по сравнению с g(x)