27) Полярная система координат.

Полярная система координат на плоскости — это совокупность точки  , называемой полюсом, и полупрямой  , называемой полярной осью. Кроме того, задается масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса. Как правило, на полярной оси выбирается вектор  , приложенный к точке  , длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задает положительное направление на полярной оси (рис.2.28,а).

Положение точки   в полярной системе координат определяется расстоянием   (полярным радиусом) от точки   до полюса (т.е.  )и углом   (полярным углом) между полярной осью и вектором  . Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки  , что записывается в виде  . Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

- в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;

- в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Полярный радиус определен для любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения  . Полярный угол   определен для любой точки плоскости, за исключением полюса  , и принимает значения  , называемыми главными значениями полярного угла. В некоторых случаях целесообразно считать, что полярный угол определен с точностью до слагаемых  , где  . В этом случае значениям   полярного угла для всех   соответствует одно и то же направление радиус-вектора.С полярной системой координат   можно связать прямоугольную систему координат  , начало   которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс (точнее положительная полуось абсцисс) — с полярной осью. Ось ординат достраивается перпендикулярно оси абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная система координат (рис.2.28,б). Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси.

Наоборот, если на плоскости задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим полярную систему координат {связанную с данной прямоугольной).

Выведем формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты   точки  , отличной от точки  , и ее полярные координаты  . По рис.2.28,б получаем

Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным полярным координатам. Обратный переход выполняется по формулам:Последние два равенства определяют полярный угол с точностью до слагаемых  , где  . При   из них следует, что  . Главное значение полярного угла   находится по формулам (рис.2.29):

28) Предел функции при .

Пусть числовая функция   задана на множестве  , в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного   в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка  . В этом случае число   называется пределом функции   на бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности точек   соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках   сходится к числу  .

Пусть числовая функция   задана на множестве  , в котором для любого числа   найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число   называется пределом функции   на плюс бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности положительных точек   соответствующая последовательност частных значений функции в этих точках   сходится к числу  .

• Пусть числовая функция   задана на множестве  , в котором для любого числа   найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число   называется пределом функции   на минус бесконечности, если для всякой бесконечно большойпоследовательности отрицательных точек   соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках   сходится к числу  .