29. Предел функции в точке, предел слева, предел справа.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности   такой, что   сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции   сходится к числу A.

Если A – предел функции в точке a, то пишут, что 

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Число A₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех   выполняется неравенство   

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех   выполняется неравенство   

Предел слева обозначается   предел справа –   Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль:   и  .

29. Бесконечно большие функции.

Определение. Предел функции f(x) при х а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число  >0, что неравенство |f(x)|>M выполняется при всех х, удовлетворяющих условию 0 < |x - a| <

Записывается  .Определение. Функция называется бесконечно большой при х а, где а – число или одна из величин  ,  или  , если  , где А – число или одна из величин  ,  или  . Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой:Теорема. Если f(x) 0 при х а (если х  ) и не обращается в ноль, то