13)Скалярное произведение: определение, вычисление, свойства.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

Из определения следует

где φ - угол между векторами.

Скалярная величина   называется проекцией вектора   на вектор 

В зависимости от значения угла между векторами, проекция может принимать отрицательные, положительные или нулевое значения.

Теперь можно написать

Из определения скалярного произведения следует, что если векторы ортогональны, то  (условие ортогональности ненулевых векторов).

 Свойства скалярного произведения:             

14) Векторное произведение: определение, вычисление, свойства

У порядоченная тройка векторов   называется правой, если наблюдателю, находящемуся на конце вектора , кратчайший поворот от   к   кажется происходящим против часовой стрелки (рис. 7). В противном случае тройка векторов левая. 

Н апример, 

Тройки компланарных векторов не относятся ни к правым, ни к левым.  Векторным произведением вектора   на вектор   называется третий вектор   определяемый следующим образом:  1) длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах   и  , т.е.

где φ - угол между векторами   и  ;  2) вектор   перпендикулярен векторам   и  ;  3) векторы   после приведения к общему началу образуют правую тройку векторов.

15) Смешанное произведение: определение, вычисление, свойства.

Смешанным произведением трех векторов   называется число

Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих в екторах.

Пусть   правая тройка векторов (рис. 9). Действительно, объем параллелепипеда, построенного на векторах  , равен площади основания   на высоту . Здесь φ - угол между векторами  и 

Знак смешанного произведения совпадает со знаком cos φ, и поэтому смешанное произведение положительно, когда тройка векторов правая, и отрицательно, если тройка векторов левая.Если перемножаемые векторы лежат в одной плоскости (cos φ = 0), то   - необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Пусть векторы заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат

Из 3.6.2 известно, что

Скалярно умножим этот вектор на вектор   и, учитывая свойства скалярного произведения, получим

Это выражение может быть получено при вычислении определителя

по элементам третьей строки, исходя из правила вычисления определителя.

Поэтому смешанное произведение трех векторов обозначают как  , не подчеркивая при этом, какая пара векторов умножается векторно.

16) Прямая на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, общее уравнение, уравнение в отрезках.

     Общее уравнение Ax + By + C (  > 0).   Вектор   = (А; В) - нормальный ветор прямой.    В векторном виде:   + С = 0, где   - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

     Уравнение прямой в отрезках  где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом y = kx + b

где k - угловой коэффициент прямой, т. е. тангенс того угла, который прямая образует с положительным направлением оси Ox, причем этот угол отсчитывается от оси Ox к прямой против часовой стрелки, b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. При b = 0 уравнение (1) имеет вид y = kx и соответствующая ему прямая проходит через начало координат.