10)Векторы: основные понятия. Линейные операции: сложение векторов, умножение на число.

3.1. Основные понятия и определения

Направленный отрезок или, что то же самое, упорядоченную пару точек будем называтьвектором. Обозначается вектор одной буквой   или  . Векторы характеризуются длиной   и направлением. Мы рассматриваем свободные векторы, т. е. такие, которые без изменения длины и направления могут быть перенесены в любую точку пространства. Ортом вектора   называется вектор  , который имеет единичную длину и то же направление, что и вектор  . Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называютсяколлинеарными. Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называютсякомпланарными. Два вектора считаются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине. Пусть даны два вектора. Параллельным переносом приведем их к общему началу. Наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения с другим, называетсяуглом между векторами. Рис.1

Суммой двух векторов   и   называется вектор  , направленный из начала вектора  в конец вектора   при условии, что начало  совпадет с концом вектора  . Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Произведение вектора a(a1; a2) на число λ называется вектор (λa1; λa2), т.е. (a1; a2) λ = (λa1; λa2). Для любого вектора a и чисел λ, μ Для любого вектора a и b и числа λ 

11)Линейная комбинация векторов, линейная зависимость, базис.

Линейной комбинацией векторов   называют вектор

     

где   - коэффициенты линейной комбинации. Если   комбинация называется тривиальной, если   - нетривиальной.

Линейная зависимость и независимость векторов     Система   линейно зависима     что 

     Система   линейно независима   Базисом векторного пространства   называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства   раскладывается по векторам этой системы.         

12)Декартова система координат. Вектор в декартовой системе координат, его модуль, операции над векторами, направляющие косинусы.

Декартовой системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность точки и базиса, т.е. совокупность точки и трёх некомпланарных векторов (2-х неколлинеарных векторов), выходящих из этой точки. калярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

Из определения следует где φ - угол между векторами.

Скалярная величина   называется проекцией вектора   на вектор 

В зависимости от значения угла между векторами, проекция может принимать отрицательные, положительные или нулевое значения.Теперь можно написать Из определения скалярного произведения следует, что если векторы ортогональны, то  (условие ортогональности ненулевых векторов).

Векторным произведением вектора   на вектор   называется третий вектор   определяемый следующим образом:  1) длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах   и  , т.е.

где φ - угол между векторами   и  ;  2) вектор   перпендикулярен векторам   и  ;  3) векторы   после приведения к общему началу образуют правую тройку векторов.