10.Опрне рішення задачі лінійного програмування.

Економіко–математична модель – математичний опис економічного процесу або явища з метою його дослідження та керування ним.

Під назвою «транспортна задача» об’єднується широке коло задач з єдиною математичною моделлю. Дані задачі відносяться до задач лінійного програмування і можуть бути вирішені симплексним методом. Проте матриця системи обмежень транспортної задачі настільки своєрідна, що для її рішення розроблені спеціальні методи, у тому числі, метод рішення за допомогою Exel. Ці методи, як і симплексний метод, дозволяють знайти початкове опорне решення, а потім, покращуючи його, отримати оптимальне рішення.

Сутність транспортної задачі полягає в тому, щоб забезпечити мінімальні транспортні витрати перевезень вантажу від постачальників до споживачів (цільова функція), і при цьому вантаж від постачальників має бути вивезеним (обмеження на спроможність постачальників), а потреби споживачів – задоволені (обмеження на потреби споживачів).

11. Дати поняття дефіцитних і недефіцитних ресурсів

За допомогою двоїстих оцінок можна визначити статус кожного ресурсу прямої задачі та рентабельність продукції, що виготовляється. Ресурси, що використовуються для виробництва продукції, можна умовно поділити надефіцитні та недефіцитні залежно від того, повне чи часткове їх використання передбачене оптимальним планом прямої задачі. Якщо двоїста оцінка уі в оптимальному плані двоїстої задачі дорівнює нулю, то відповідний і-й ресурс використовується у виробництві продукції не повністю і є недефіцитним. Якщо ж двоїста оцінка уі > 0, то і-й ресурс використовується для оптимального плану виробництва продукції повністю і називаєтьсядефіцитним. У цьому разі величина двоїстої оцінки показує, на скільки збільшиться значення цільової функції Z, якщо запас відповідного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю. Аналіз рентабельності продукції, що виготовляється, виконується за допомогою двоїстих оцінок і обмежень двоїстої задачі. Ліва частина кожного обмеження двоїстої задачі є вартістю всіх ресурсів, які використовують для виробництва одиниці j-ї продукції. Якщо ця величина перевищує ціну одиниці продукції (сj), виготовляти продукцію не вигідно, вонанерентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна хj = 0. Якщо ж загальна оцінка всіх ресурсів дорівнює ціні одиниці продукції, то виготовляти таку продукцію доцільно, вона рентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна змінна хj > 0. Економічна інтерпретація двоїстих задач та аналіз економіко-математичних моделей на чутливість за допомогою теорії двоїстості дають змогу модифікувати оптимальний план задачі лінійного програмування відповідно до змін умов прямої задачі й дістати при цьому такі результати.

14.Визначення сідлової точки.

Для розроблення методів розв’язування окремих типів задач нелінійного програмування важливе значення має поняття сідлової точки, а також визначення необхідних і достатніх умовіснування сідлових точок функції Лагранжа   у (n + m)-вимірному просторі змінних   за довільних умов, які можуть накладатися на їх знаки (необхідні і достатні умови існування сідлової точки функції Лагранжа за відсутності обмежень на знаки змінних .

необхідні умови сідлової точки:

 для тих індексів j, де  . (8.14)

Зауважимо, що для   маємо ті самі випадки, які зображено на рис. 8.1—8.6, причому графіки будуть симетрично відображені відносно осі Оy, тобто для недодатних координат необхідна умова має вигляд:

 для тих індексів j, де  . (8.15)

І нарешті, як відомо з попереднього параграфа, якщо на знак хj умови не накладаються, то необхідною умовою є:

,   — довільного знака. (8.16)

Узагальнення всіх випадків приводить до рівняння:

. (8.17)

Розглядаючи другу частину нерівності (8.13), за допомогою аналогічних міркувань встановлюємо необхідні умови для похідних по   функції Лагранжа в сідловій точці:

 для тих індексів і, де  , (8.18)

 для тих індексів і, де  , (8.19)

 для тих індексів і, де   має довільний знак. (8.20)

Отже, справджується рівняння:

. (8.21)

Сукупність співвідношень (8.14)—(8.21) становить необхідні умови, які має задовольняти сідлова точка   функції Лагранжа для точок, що належать множині  . При цьому   повинна мати частинні похідні по всіх компонентах векторів  .