62. Сформулювати алгоритм рішення гри графічним методом.

Теорія ігор — це математичний апарат, що розглядає конфлікт­ні ситуації, а також ситуації спільних дій кількох учасників. Завдання теорії ігор полягає у розробленні рекомендацій щодо раціональної поведінки учасників гри.

Реальні конфліктні ситуації досить складні і обтяжені великою кількістю несуттєвих чинників, що ускладнює їх аналіз, тому на практиці будують спрощені моделі конфліктних ситуацій, які називають іграми.

Якщо гра 2  n або m  2 може бути розв’язана геометрично, то у випадку гри 3  n (m  3) геометрична інтерпретація переходить у простір, що ускладнює як її побудову, так і сприйняття. У випадку ж, коли n > 3, m > 3, геометрична інтерпретація взагалі неможлива. Для розв’язування гри m × n використовують прийом зведення її до задачі лінійного програмування.

Нехай розглядається парна гра зі стратегіями для гравця А та стратегіями для гравця В і платіжною матрицею . Необхідно знайти оптимальні змішані стратегії та , де , .

Знайдемо спочатку оптимальну стратегію гравця А. За основною теоремою теорії ігор така стратегія має забезпечити гравцеві виграш, не менший за ціну гри (поки що невідому величину) , за будь-якої поведінки гравця В.

Допустимо, що гравець А застосовує свою оптимальну стратегію, а гравець В — свою «чисту» j-ту стратегію B_j, тоді середній виграш гравця А дорівнюватиме:

. (11.10)

За цих обставин виграш має бути не меншим, ніж ціна гри. Отже, для будь-якого значення j величина виду (11.10) має бути не меншою, ніж :

Розділивши всі обмеження на , отримаємо:

Позначивши маємо:

.

Враховуючи умову, що , отримуємо .

Необхідно зробити виграш максимальним. Цього можна досягти, коли вираз набуватиме мінімального значення. Отже, врешті маємо звичайну задачу лінійного програмування.

Цільова функція:

(11.11)

за умов:

(11.12)

. (11.13)

Розв’язуючи цю задачу симплексним методом, знаходимо значення а також величину і значення , що є оптимальним розв’язком початкової задачі. Отже, визначено змішану оптимальну стратегію для гравця А.

За аналогією можна записати задачу лінійного програмування для визначення оптимальної стратегії гравця В. З цією метою позначимо:

Маємо таку лінійну модель задачі:

за умов:

Очевидно, що задача лінійного програмування для гравця В є двоїстою до задачі гравця А, а тому оптимальний розв’язок однієї з них визначає також оптимальний розв’язок спряженої.

Розглянемо приклад застосування методів лінійного програмування для знаходження оптимального розв’язку гри.

65. Сформулювати економічний сенс попередніх перетворень при рішення задач угорським методом.

Ідея методу полягає у здійсненні послідовного переходу від деякого недопустимого плану (не всі потреби задоволені і не вся продукція вивезена) до допустимого, що є розв’язком задачі. Цей перехід здійснюється за скінченну кількість ітерацій (але невідому до кінця обчислень), що пов’язані з перетвореннями матриці вартостей і поточного плану .

Назвемо умовно-оптимальним планом (псевдопланом) транспортної задачі (5.1)—(5.4) таку сукупність невід’ємних чисел , яка задовольняє задану систему нерівностей:

(5.27)

(5.28)

і такі наступні умови для змінних двоїстої задачі — потенціалів:

, якщо ;

, якщо .

Мірою недопустимості (умовою неоптимальності) умовно-оптимального плану може бути наявність різниці між сумою всіх запасів (чи потреб, що те саме) і сумою всіх перевезень умовно-оптимального плану, тобто:

(5.29)

Зрозуміло, що чим менша нев’язка , тим ближче умовно-оптимальний план до найкращого плану транспортної задачі, а у разі, коли  = 0, він збігається з оптимальним планом.

Звідси легко збагнути ідею розглядуваного методу розв’я­зування транспортної задачі: починаючи з деякого початкового плану задачі, подвійної до транспортної , можна знайти послідовність оптимальних планів ряду допоміжних задач на мінімізацію (5.29) за обмежень (5.27) і (5.28), кожний наступний план якої надає нев’язці (5.29) меншого значення у зіставленні з попереднім, а останній план цієї послідовності надає нев’язці нульового значення, збігаючись у такий спосіб з оптимальним планом транспортної задачі.

Отже, кожна ітерація методу означатиме розв’язування допоміжної задачі (5.27)—(5.28) і зменшення при цьому значення цільової функції (5.29) порівняно з попереднім розв’язком цієї задачі.

Щоб сформулювати допоміжну задачу, треба, крім використання величин і , що їх містить задана транспортна задача, побудувати ще деякий план двоїстої задачі , . Для початку першої ітерації це легко зробити, узявши, наприклад:

, (5.30)

причому даний план задовольняє умову:

+ , (5.31)

а також у кожному рядку матриці перевезень унаслідок такого вибору потенціалів виконуватиметься хоча б одна рівність виду (5.31). Справді, взявши для -го рядка в правій частині (5.31) , дістанемо:

.

У наступних ітераціях утворену систему потенціалів змінюємо, але так, що вона завжди залишається планом подвійної задачі.

Наведені вище обмеження для змінних двоїстої задачі:

, якщо ;

, якщо

означають, що клітини, в яких для визначеної на k-му кроці системи потенціалів виконується строга нерівність , не заповнюють. Отже, розв’язуючи задачу, будемо використовувати лише ті клітини, для яких .

Зауважимо, що мінімізація цільової функції (5.29) рівнозначна максимізації другого її доданка

(5.32)

при тій самій системі обмежень. Зрозуміло, що , а при матимемо: .