3. Автокорреляция остатков

Исследование остатков и_i предполагает проверку наличия следующих пяти предпосылок правомерности использования метода наименьших квадратов (условия Гаусса-Маркова) [1,7,8]:

- случайный характер остатков;

• нулевая средняя величина остатков, не зависящих от х_i ;

• гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения и_i одинакова для всех значений х ;

• отсутствие автокорреляции остатков. Значения и_i распределены независимо друг от друга;

• остатки подчиняются нормальному распределению.

Если распределение остатков и_i не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель.

Прежде всего проверяется случайный характер остатков и_i – строится график зависимости остатков и_i от теоретических значений результативного признака .

Рисунок 3.1. – Зависимость остатков от теоретических значений .

Если на графике все точки лежат в горизонтальной полосе, то остатки и_i представляют собой случайные величины; применение МНК оправдано; теоретические значения хорошо аппроксимируют фактические значения у.

Возможны случаи, когда остатки и_i зависят от , тогда:

• остатки не являются случайными величинами (рис 3.2а);

• остатки не имеют постоянной дисперсии (рис. 3.2б);

• остатки имеют систематический характер (рис. 3.2в), в данном случае отрицательные значения и_i соответствуют низким значениям , а положительные – высоким.

Рисунок 3.2. – Зависимость остатков от теоретических значений

В этих случаях необходимо менять спецификацию модели.

Вторая предпосылка МНК относительно нулевой средней величины остатков означает, что . Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных относительно переменной х . Для моделей, нелинейных по оцениваемым параметрам и приводимым к линейному виду логарифмированием, средняя ошибка равна нулю для логарифмов исходных данных.

Вместе с тем несмещенность оценок коэффициентов моделирующих уравнений, полученных МНК, зависит от независимости случайных остатков и величин х . Поэтому строится график зависимости остатков и_i от фактора х_{i .}

Рисунок 3.3. – Зависимость остатков от величины фактора .

Если остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы (рисунок 3.3), то они независимы от значений х_i . Если же график показывает наличие зависимости и_i и х_i , то модель неадекватна.

В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной . Это значит, что для каждого значения фактора х_i остатки и_i имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не выполняется, то имеет место гетероскедастичность.

Гетероскедастичность означает, что

(29)

и приводит к неэффективности оценок коэффициентов моделирующих уравнений, так как формулы (20), (21) для стандартных ошибок параметров предполагают единую остаточную дисперсию для любых значений фактора.

На практике гетероскедастичность встречается довольно часто в связи, например, с эффектом масштаба. Так потребление растет с ростом доходов, но и_i разброс в потреблении субъектов обычно выше у более состоятельной части населения. То же наблюдается при сопоставлении доходов более крупных предприятий по сравнению с мелкими, ВНП различных стран и т.д.

При построении моделей рядов динамики чрезвычайно важно соблюдение четвертой предпосылки МНК – отсутствие автокорреляции остатков.

Определение.

Автокорреляцией остатков называется наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу. Во-первых, иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения значений результативного признака. Во-вторых, в ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. Модель может не включать фактор, оказывающий существенное воздействие на результативный признак, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными.