- •Донецьк 2010
- •Введение
- •1. Моделирование рядов динамики
- •1.1. Определение параметров моделирующих функций
- •1.2. Оценка адекватности и надежности модели
- •1.3. Оценка параметров уравнений
- •1.4. Использование моделей тренда в прогнозировании
- •2. Автокорреляция уровней динамического ряда
- •Свойства коэффициента автокорреляции:
- •3. Автокорреляция остатков
- •3.1. Критерий Дарбина – Уотсона (d - статистика)
- •Ограничения на применение критерия Дарбина - Уотсона:
- •3.2. Нециклический коэффициент автокорреляции остатков
- •3.3.Циклический коэффициент автокорреляции остатков
- •4.2. Снижение влияния гетероскедастичности
- •5 Множественная регрессия
- •5.1. Классический подход
- •Расчет элементов коэффициента
- •Коэффициенты эластичности результативного показателя по факторам определяются по формуле (51)
- •5.2. Матричный подход
- •5.3. Расчеты с использованием пк
- •Вывод итогов
- •6 Мультиколлинеарность
- •7 Ранговая корреляция
- •7.1. Экспертное оценивание
- •7.2. Этапы работ в системе экспертных оценок
- •7.3. Метод ранговой корреляции
- •Вспомогательные расчеты
- •Б) Случай многих экспертов
- •8 Сетевое планирование
- •9. Компьютерная поддержка расчетов в пакете Excel
- •9.1. Ввод данных
- •9.2. Построение расчетной таблицы
- •9.3. Вычисление параметров моделирующих уравнений
- •9. 4. Графическое представление данных
- •Данных диаграммы
- •Параметры диаграммы
- •Размещение диаграммы
- •9.5. Построение линии тренда
- •9.6. Использование опции Мастер функций
- •9.7. Использование пакета Анализ данных
- •Литература
- •Коэффициентов автокорреляции
- •Критические значения и для коэффициента автокорреляции критерия Дарбина-Уотсона для
- •Критические значения и для коэффициента автокорреляции критерия Дарбина-Уотсона для
- •Значение критерия Пирсона
- •Квантили распределения Стьюдента
2. Автокорреляция уровней динамического ряда
При наличии в динамическом ряде тенденции значения каждого последующего уровня ряда могут зависеть от предыдущих [8].
Определение. |
Корреляционная зависимость между последовательными уровнями динамического ряда называется автокорреляцией уровней ряда. |
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного динамического ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Определение. |
Коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка называется линейный коэффициент корреляции между соседними уровнями ряда t и t-1 , т.е. |
(27)
где
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями ряда t и t-2 и определяется формулой
; (28)
где
Определение. |
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции уровней, называется лагом. |
С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции используется правило – максимальный лаг не должен превышать .
Свойства коэффициента автокорреляции:
1. Коэффициент автокорреляции характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить только о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для динамических рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, экспоненциальная модель тренда), коэффициент автокорреляции уровней может приближаться к нулю. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующей коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом ряде динамики, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.
2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя сделать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных имеют положительную автокорреляцию уровней, но при этом характеризуются убывающей тенденцией.
Определение. |
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называется автокорреляционной функцией динамического ряда. |
Определение. |
График зависимости значений автокорреляционной функции динамического ряда от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой. |
Анализируя автокорреляционную функцию и коррелограмму можно выявить структуру ряда динамики. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени.
Пример 2.1. |
В таблице представлены данные о средних расходах на конечное потребление yi за 8 лет. Рассчитать коэффициенты автокорреляции уровней временного ряда расходов на конечное потребление. |
-
хі
1
2
3
4
5
6
7
8
уі
7
8
8
10
11
12
14
16
Решение.
|
Определим коэффициент автокорреляции между рядами уi и yi-1 и измерим тесноту связи между расходами на конечное потребление текущего и предыдущего годов. |
Поскольку
,
,
то используя результаты вспомогательных расчетов, представленных в таблице 2.1, и формулу (27), получим
.
Таблица 2.1
|
|
|
|
- |
( - ) |
( )2 |
( - )2 |
1 |
7 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
2 |
8 |
7 |
-3,29 |
-3 |
9,87 |
10,8241 |
9 |
3 |
8 |
8 |
-3,29 |
-2 |
6,58 |
10,8241 |
4 |
4 |
10 |
8 |
-1,29 |
-2 |
2,58 |
1,6641 |
4 |
5 |
11 |
10 |
-0,29 |
0 |
0,00 |
0,0841 |
0 |
6 |
12 |
11 |
0,71 |
1 |
0,71 |
0,5041 |
1 |
7 |
14 |
12 |
2,71 |
2 |
5,42 |
7,3441 |
4 |
8 |
16 |
14 |
4,71 |
4 |
18,84 |
22,1841 |
16 |
|
86 |
70 |
-0,03* |
0 |
44,0 |
53,4287 |
38 |
*Сумма не равна нулю ввиду наличия ошибок округления |
Полученное значение r1, близко к единице и свидетельствует об очень тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственно предшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление сильной линейной тенденции.
Вычислим коэффициент автокорреляции второго порядка. Для этого
вычислим среднее значение
,
и построим вспомогательную таблицу 2.2.
Таблица 2.2
|
|
|
|
- |
( )( - ) |
( )2 |
( - )2 |
1 |
7 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
2 |
8 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
3 |
8 |
7 |
-3,83 |
-2,33 |
8,9239 |
14,6689 |
5,4289 |
4 |
10 |
8 |
-1,83 |
-1,33 |
2,4339 |
3,3489 |
1,7689 |
5 |
11 |
8 |
-0,83 |
-1,33 |
1,1039 |
0,6889 |
1,7689 |
6 |
12 |
10 |
0,17 |
0,67 |
0,1139 |
0,0289 |
0,4489 |
7 |
14 |
11 |
2,17 |
1,67 |
3,6239 |
4,7089 |
2,7889 |
8 |
16 |
12 |
4,17 |
2,67 |
11,1339 |
17,3889 |
7,1289 |
|
86 |
56 |
0,02* |
0,02* |
27,3334 |
40,8334 |
19,3334 |
*Сумма не равна нулю ввиду наличия ошибок округления |
Подставив полученные значения в формулу (28), получим
.
Большое значение коэффициента автокорреляции второго порядка подтверждает вывод о том, что ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию.
Пример 2.2. |
В таблице представлены условные данные об объемах потребления электроэнергии жителям региона за 16 кварталов. Вычислить автокорреляционную функцию и определить структуру ряда. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
yi |
6,0 |
4,4 |
5,0 |
9,0 |
7,2 |
4,8 |
6,0 |
10,0 |
8,0 |
5,6 |
6,4 |
11,0 |
9,0 |
6,6 |
7,0 |
10,8 |
Решение.
|
Построим вспомогательную таблицу 2.3. |
Таблица 2.3.
|
|
|
|
|
|
1 |
6,0 |
- |
- |
- |
- |
2 |
4,4 |
6,0 |
- |
- |
- |
3 |
5,0 |
4,4 |
6,0 |
- |
- |
4 |
9,0 |
5,0 |
4,4 |
6,0 |
- |
5 |
7,2 |
9,0 |
5,0 |
4,4 |
6,0 |
6 |
4,8 |
7,2 |
9,0 |
5,0 |
4,4 |
7 |
6,0 |
4,8 |
7,2 |
9,0 |
5,0 |
8 |
10,0 |
6,0 |
4,8 |
7,2 |
9,0 |
9 |
8,0 |
10,0 |
6,0 |
4,8 |
7,2 |
10 |
5,6 |
8,0 |
10,0 |
6,0 |
4,8 |
11 |
6,4 |
5,6 |
8,0 |
10,0 |
6,0 |
12 |
11,0 |
6,4 |
5,6 |
8,0 |
10,0 |
13 |
9,0 |
11,0 |
6,4 |
5,6 |
8,0 |
14 |
6,6 |
9,0 |
11,0 |
6,4 |
5,6 |
15 |
7,0 |
6,6 |
9,0 |
11,0 |
6,4 |
16 |
10,8 |
7,0 |
6,6 |
9,0 |
11,0 |
Найдем коэффициент автокорреляции первого порядка, используя формулу (27). Он равен r1 = 0,165 . Это значение свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней. Однако, структура этого ряда такова, что каждый следующий уровень yi зависит от и в гораздо большей степени, чем от уровня .Рассчитав коэффициенты автокорреляции k - порядка (k = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), получим автокорреляционную функцию исходного ряда. Ее значения приведены в таблице 2.4, а коррелограмма показана на рисунке 2.1
Таблица 2.4.
Лаг |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Коэффициент автокорреляции уровней |
0,165154 |
0,566873 |
0,113558 |
0,983025 |
0,118711 |
0,722046 |
0,003367 |
0,973848 |
Рисунок 2.1. – Коррелограмма к примеру 2.2
Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряду сезонных (циклических) колебаний периодичностью в четыре квартала.