- •Донецьк 2010
- •Введение
- •1. Моделирование рядов динамики
- •1.1. Определение параметров моделирующих функций
- •1.2. Оценка адекватности и надежности модели
- •1.3. Оценка параметров уравнений
- •1.4. Использование моделей тренда в прогнозировании
- •2. Автокорреляция уровней динамического ряда
- •Свойства коэффициента автокорреляции:
- •3. Автокорреляция остатков
- •3.1. Критерий Дарбина – Уотсона (d - статистика)
- •Ограничения на применение критерия Дарбина - Уотсона:
- •3.2. Нециклический коэффициент автокорреляции остатков
- •3.3.Циклический коэффициент автокорреляции остатков
- •4.2. Снижение влияния гетероскедастичности
- •5 Множественная регрессия
- •5.1. Классический подход
- •Расчет элементов коэффициента
- •Коэффициенты эластичности результативного показателя по факторам определяются по формуле (51)
- •5.2. Матричный подход
- •5.3. Расчеты с использованием пк
- •Вывод итогов
- •6 Мультиколлинеарность
- •7 Ранговая корреляция
- •7.1. Экспертное оценивание
- •7.2. Этапы работ в системе экспертных оценок
- •7.3. Метод ранговой корреляции
- •Вспомогательные расчеты
- •Б) Случай многих экспертов
- •8 Сетевое планирование
- •9. Компьютерная поддержка расчетов в пакете Excel
- •9.1. Ввод данных
- •9.2. Построение расчетной таблицы
- •9.3. Вычисление параметров моделирующих уравнений
- •9. 4. Графическое представление данных
- •Данных диаграммы
- •Параметры диаграммы
- •Размещение диаграммы
- •9.5. Построение линии тренда
- •9.6. Использование опции Мастер функций
- •9.7. Использование пакета Анализ данных
- •Литература
- •Коэффициентов автокорреляции
- •Критические значения и для коэффициента автокорреляции критерия Дарбина-Уотсона для
- •Критические значения и для коэффициента автокорреляции критерия Дарбина-Уотсона для
- •Значение критерия Пирсона
- •Квантили распределения Стьюдента
1.1. Определение параметров моделирующих функций
Моделирующее уравнение характеризует связь между анализируемым показателем и фактором времени, которая проявляется как некоторая закономерность лишь в среднем по совокупности наблюдений. Практически в каждом отдельном случае фактическое значение у имеет вид
, (1)
где уi - фактическое значение анализируемого показателя;
- теоретическое значение показателя, найденное по моделирующему
уравнению;
ui - случайная величина, характеризующая отклонение реального
значения показателя от теоретического, найденного по уравнению.
Определение. |
Случайная величина (2) называется возмущением. |
Возмущение включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Его присутствие в модели может быть обусловлено следующими причинами:
1.Спецификация модели, т.е. вид моделирующей функции, выбрана неправильно. Например зависимость между и х выбрана квадратичной, а, на самом деле, она является кубической.
2.Ошибки выборки. Использование временной информации представляет собой выборку из множества хронологических дат, поэтому изменив временной интервал, можно получить другую моделирующую функцию.
3.Ошибки измерения, т.е. измерения анализируемого показателя выполнены неправильно или не совсем точно.
Суммарная совокупность этих факторов и формирует переменную , которая, в отличие от других случайных переменных, называется латентной переменной .
Определение. |
Латентные переменные – экономические величины, которые не входят в уравнения экономометрических моделей, но влияют на взаимозависимые переменные и имеют числовое значение. |
Определение. |
Числовые значения латентной переменной обозначаются и называются остатками. |
Для нахождения параметров моделирующих функций можно использовать различные способы. Наиболее точным путем является метод наименьших квадратов (МНК), который разработали французский математик А.М. Лежандр и немецкий математик К.Ф.Гаусс.
Метод наименьших квадратов позволяет получить такие оценки параметров а и b линейной модели , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений показателя у от расчетных (теоретических) минимальна
(3)
Минимизируя (3) по каждому из параметров а и b, получаем систему уравнений для оценки неизвестных параметров
(4)
Решая систему нормальных уравнений (4) либо методом Гаусса, либо методом Крамера, найдем оценки параметров а и b.
(5)
(6)
где , , n – число наблюдений. Отсчет временного фактора начинается с 1.
К моделирующим функциям нелинейным по фактору времени, но линейным по параметрам, также можно применять МНК. Например, производя в параболическом уравнении второго порядка замену переменных х1= х , х2= х2 , получим линейное уравнение , к которому уже применим метод наименьших квадратов.
Так, имеем:
(7)
(8)
(9)
Для трендов нелинейным по оцениваемым параметрам (параметры а и b входят неаддитивно) необходимо вначале провести процедуру линеаризации, которая сводится к логарифмированию моделирующей функции по основанию е. Для оценки параметров степенной функции МНК применяется к линеаризованному уравнению , т.е. решается система уравнений
(10)
Для оценки параметров показательной функции применяем МНК к уравнению :
(11)
Основываясь на опытных значениях х и у , определяем все суммы и из соответствующих систем уравнений находим конкретные значения параметров моделирующих уравнений.
Пример 1.1. |
Проанализировать расходы торгового центра на рекламу продукции за ряд лет. Найти уравнения линейной, параболической и гиперболической зависимостей. |
Годы |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
Расходы на рек-ламу продукции, тыс.грн. |
14,6 |
15,5 |
17,0 |
18,7 |
18,8 |
19,8 |
20,1 |
21,5 |
22,8 |
23,0 |
Решение |
Данные таблицы показывают, что расходы торгового центра на рекламу продукции возрастали из года в год, хотя происходило это неравномерно. Для выравнивания показателя будем использовать линейную (4), параболическую (7) и гиперболическую (8) функции. Составим вспомогательную расчетную таблицу 1.1. Отсчет временного фактора начинается с единицы. |
Таблица 1.1
х |
у |
x2 |
x3 |
x4 |
уx |
yx2 |
1/x |
1/x2 |
y/x |
1 |
14,6 |
1 |
1 |
1 |
14,6 |
14.6 |
1 |
1 |
14.6 |
2 |
15,5 |
4 |
8 |
16 |
31 |
62 |
0,5 |
0,25 |
7.75 |
3 |
17,0 |
9 |
27 |
81 |
51 |
153 |
0,333 |
0,111 |
5.667 |
4 |
18,7 |
16 |
64 |
256 |
74.8 |
299.2 |
0,25 |
0,0625 |
4.675 |
5 |
18,8 |
25 |
125 |
625 |
94 |
470 |
0,2 |
0,04 |
3.76 |
6 |
19,8 |
36 |
216 |
1296 |
118.8 |
712.8 |
0,167 |
0,0278 |
3.3 |
7 |
20,1 |
49 |
343 |
2401 |
140.7 |
984.9 |
0,1428 |
0,0204 |
2.871 |
8 |
21,5 |
64 |
512 |
4096 |
172 |
1376 |
0,125 |
0,0156 |
2.6875 |
9 |
22,8 |
81 |
729 |
6561 |
205.2 |
1846.8 |
0,111 |
0,0123 |
2.533 |
10 |
23,0 |
100 |
1000 |
10000 |
230 |
2300 |
0,1 |
0,01 |
2.3 |
55 |
191,8 |
385 |
3025 |
25333 |
1132.1 |
8219.3 |
2,9288 |
1,5496 |
50.1439 |
В последней строке таблицы 1.1 указаны суммы всех значений для каждого столбца.
Для определения параметров уравнения линейной функции запишем систему уравнений (4) и найдем ее решение:
Таким образом, линейная модель имеет вид .
Для определения параметров уравнения параболической функции запишем систему уравнений (7) и найдем ее решение с помощью метода Гаусса:
Таким образом, – параболическая модель. Для определения параметров уравнения гиперболической функции запишем систему уравнений (8) и найдем ее решение
Таким образом, гиперболическая модель имеет вид .