32.Пр линия в пр-ве.Параметрич ур-е прям.Канонич ур-е пр

1-это точка M0(x0,y0,z0)

2-это точка M(x,y,z)

вектор M0M=(x-x0;y-y0;z-z0)

векторы M0M//S

(x-x0)/k=(y-y0)/e=(t-t0)/m это каноническое

Введем параметр t Є R и положим (x-x0)/k=(y-y0)/e=(z-z0)/m=t, t Є R

x=x0+kt

y=y0+et это все параметрич ур-я прямой в пр-ве

z=z0+mt

У р-я вида

A1x+B1y+C1Z+D1=0 это общие ур-я

A2x+B2y+C2Z+D2=0 прямой в пространстве

Они задают прямую ,как линию пересечения 2-х пл-тей

Взаимное расположение прямой и пл-ти в пр-ве

Пусть задана прямая каноническими ур-ми

(x-x0)/k=(y-y0)/e=(t-t0)/m

и плоскость общим ур-ем плоскости Ax+By+Cz+D=0

Дано:

S=(k,e,m)-направленный вектор прямой

N=(A,B,C)

Cos(90-β)=sinβ=(N,S)/|N|*|S|=(Ak+Be+Cm)/√ ²+B²+C²√k²+e²+m²

Условие парал-ти прямой к плоскости

Ak+Be+Cm=0

Условие перпенд-ти

Если пр перп-на пл-ти,то ее направл в-р S кол-н норм в-ру пл-ти S//N A/k=B/e=C/m

Условие принадлежности прямой к плоскости:

Ax0+By0+Cz0+D=0 Ak+Be+Cm=0

36.Предел числовой последовательности (чп).

ЧП – это ф-ия натур аргумента x_n=f(n),где n принадлежит N.

X1, x2,…xn,…-числ послед.(1), xn-общ член чп.

Число а наз пределом посл-ти, если для любого малого положит числа ξ > 0 сущ такой номер N, зависящий от ξ, что для всех номеров n>N выполняется неравенство |x_n-а|< ξ.

Замечание. |x_n-а|< ξ=> а- ξ<x₁<а+ ξ, X_n- ξ<a<x_n+ ξ – ξ окрестности т.а

Если число а-предел ЧП(1), то все члены посл-ти, начиная с некот номера N, попадают в ξ-окрестность т.а.Чем больше N,тем ниже а.

Если а-предел числ. послед-ти(1), то пишут: lim x_n=a или x_n→a, n→∞

Свойства числ. последовательности:

1.Если ЧП с общ членом x_n имеет предел, то она наз сходящейся.Всякая сход посл-ть огран, т.е. сущ M>0, что все члены этой П по модулю не превосх это число. |x_n |<М

2. Пусть заданы 3 П, x_n, y_n, z_n-общие члены. Причем lim x_n= lim z_n=а и выполняется неравенство: x_n ≤y_n≤z_n, то lim y_n=а.

3. Пусть послед. x_n, y_n имеют конечные пределы lim x_n=а lim y_n=в -∞<а,в<+∞. Тогда:

1. lim(x_n±y_n)= limx_n ± lim y_n)-справ для люб кон числа П

2. lim(x_n*y_n)= limx_n*limy_n

3. lim(Cx_n)=C limCx_n=C*a.

4. lim = = , b≠0.

Посл α_n наз бескон малой, если ее предел = 0, т.е. limα_n=0

Послед. β_n наз бесконечно большой, если ее предел = ∞.

Утверждение.Если послед. α_n-беск. малая, то послед. - беск. большая и наоборот.

В курсах матанализа док-ся, что П {Хn}= монот и огранич.По теореме: для того, чтобы монот сходилась, необхмо и достаточно, чтобы она была огранич. След-но, эта П имеет предел. Он обозначается буквой е: е=lim , причем е=2,718.

37.Понятие ф-и. Сп-бы задания ф-й, оп-ции над ними. Обр ф-ия. Элемент ф-ии, их классификация.

Рассм мн-во Х, сост из эл-ов х, и мн-во У, сост из эл-ов у. Если кажд Эл-ту х из Х по опред правилу f поставлен в соответствие единств эл-т f(x) из У, то гов-т, что на мн-ве Х задана ф-я y=f(x) со знач-ми в мн-ве У; пишут также:f:Х У или х f(x). При этом у наз завис перем-й, х-незав перем-й (или арг-м). Мн-во Х наз обл-тью опред-я(или сущ-я) ф-ии.

Пусть на некот мн. Х опр-на ф-я f(x), тогда знач-е этой ф-и, соответствующее некот знач-ю арг-та , обозн-ся . Например, f(x)= , то f(2)=8, f(-2)=-8.

Ф-я у=f(x) наз неубыв (невозраст) на мн-ве Х, если для люб , удовлетв усл-ю , справ-во нер-во Неубыв и невозраст ф-и наз монотонными.

Если для люб , удовлетв усл-ю , справ-во нер-во , то ф-я y=f(x) наз возраст (убыв) на мн-ве Х. Возраст и убыв ф-и наз строго монотонными.

Ф-я, все знач-я кот = между собой, наз пост-й. Ф-я, опред на мнве Х, наз огранич на этом мн-ве, если найдется число М>0, такое, что Напр, ф-я y=sinx огран на всей числовой прямой, т.к. для любого х.

На пл-ти ф-я изобр-ся в виде графика-мн-ва точек (х,у), корд-ы кот связаны соотношением y=f(x), наз ур-м гр-ка.

Ф-ия наз сложной, если ее арг-т в свою очередь явл ф-ей др переем-й, т.е. если на некот мн-ве Х опред-на ф-я с мн-ом значений Z, а на мн-ве Z опред-на ф-я y=f(z), то наз сложной ф-ей от х, а переменная z-промежут переменной сложной ф-ии. Прим-ся также и др названия: композиция ф-й и f, суперпозиция ф-й и f. Напр, ф-я y=sin3x-сложная ф-я, опред на всей числ прямой, т.к. y=f(z)=sinz, z= (x)=3x.

Пусть ф-я y=f(x) задана на мн-ве Х= , а У= -мн-во ее знач-й. Тогда кажд х Х по з-ну f став-ся в соответствие единств значение у У. С др стороны, кажд у У будет соотв-ть одно или несколько значений х Х. В случае, когда кажд зн-ю у У соотв-т только 1 зн-е х Х, для кот f(x)=y, на мн-ве У можно опред ф-ю х= (у), мн-ом значений кот явл мн-во Х.

Эту ф-ю наз обр по отношению к ф-и y=f(x).

Эти функции называются взаимнообратными.

Из опред-я обр ф-и следует, что мн-во зн-й У ф-и f явл обл-ю опред-я обр ф-и , а обл опред-я Х ф-и f-мн-вом знач обр функціі .

Ф-и, получ посредством кон числа арифмет действий над простейшими элемент ф-ми, а также путем суперпозиции этих функций, составляют класс элементарных функций.

Существует 5 классов элементарных функций:

1)степенные:

D(y), E(y) зависит от ;

2) показательные:

-частный случай.

3)логарифмические:

4)тригонометрические:

5)обратные тригонометрические функции:

38.Предел ф-и на беск-ти и в точке. Одностор пр-лы.

Пусть задана ф-я y=f(x), кот опр-на на мн-ве х. Пусть - пред точка мн-ва х. Выберем на мн-ве х произв посл-ть чисел , кот не совп-т с , сход к .

Вычислим значение функции в каждой точке:

О.1(по Гейне). Число А наз-ся пред-м ф-ции у=f(x) при

(или в т-е ), если для любой сходящейся последовательности(1) соответствующая последоват-ть значений ф-ции(2) сходится к числу А.

О.2(по Коши) Число А наз пределом ф-и y=f(x) при (или в т-е ), если для люб сколь угодно малого положит числа сущ такое число >0, завис от , что для всех х, удовлетв нер-ву , вып-ся нер-во

или

Ч исло А наз левостор пределом ф-и y=f(x), если вып-ся условие:

Число А наз правостор пределом ф-ции y=f(x), если вып-ся условие:

Замечание: если в качестве =0, то левосторонний предел: или ;

Правосторонний:

или