98. Признаки сравнения рядов

1-й признак сравнения:

Пусть (1) и (2) с неотриц членами. Тогда если вып-ся нер-во начиная с некот n, то если ряд 2 сх-ся, то и ряд 1 сх-ся, а если ряд 1 расх-ся, то и ряд 2 расх-ся.

2-й признак сравнения:

Пусть заданы ряд (1) и (2), члены кот положит и сущ , 0<l<∞. Тогда эти ряды (1), (2) одновр-но сх-ся или расх-ся.

101.Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд   a_nxⁿ сходится при x=x₀, то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x₀|

2) Если же ряд a_nxⁿ расходится при x=x_{1 ,} то он расходится при всех x , удовлетворяющих условию |x|>|x₁|

Док-во (основано на свойствах последовательностей).

1)Так как числовой ряд a_nx₀ⁿ сходится, то a_nx₀ⁿ =0. Это означает, что числовая последовательность {a_nx₀ⁿ} ограничена.Тогда перепишем степенной ряд в виде

a₀ + a₁x₀ (x/x₀) + a₂x₀²(x²/x₀²) +…+…= a_nx₀ⁿ (x/x₀)²

Рассмотрим ряд из абсолютных величин.

|a₀| + |a₁x₀ (x/x₀) | + |a₂x₀²(x²/x₀²) | +…+…<= M + M| x/x₀| + M| x/x₀|² +…= M(1+q+ q²+…)

Это геометрическая прогрессия с q=(x/x₀)<1—сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда.

2) 2-ая часть теоремы. От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x^*, | x^*|> x_1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |< x^* . В том числе должен сходится

и при x= x₀, так как | x |< | x^*| . Но это противоречит

предположению теоремы. Теорема доказана.

102.Инт-л, радиус и область сх-ти степенного ряда.

Из т-мы Абеля следует, что для любого степ ряда найдется такое неотриц число , R наз радиусом сх-ти, что при всех x, | x |< R , ряд сх-ся, а при всех x, | x |> R , ряд расходится.

Интервал (-R;R) наз интервалом сх-ти степ ряда .

Заметим, что для x €(-R;R) ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться.

Как найти радиус сходимости R? Для этого можно воспольз-ся, напр, признаками Даламбера или Коши.

Теорема. Если существует | a_n+1/ a_n|=L, то R=1/L= | a_n/ a_n+1|

Док-во. Рассмотрим ряд a_nxⁿ . Применим к нему признак Даламбера.

| a_n+1xⁿ⁺¹/ a_nxⁿ|= | a_n+1/ a_n|∙| x | =L∙| x |

Отсюда следует, что если L∙| x |<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, то ряд расходится. Теорема доказана.

Заметим, что если L=0, для любого | x | то R=∞ .

Если L=∞, для любого x≠0 , то R=0 . Если R=0 , то ряд сходится в единственной точке x₀=0; если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой.

Итак, интервал сходимости ряда a_nxⁿ есть (-R;R) . Для нахождения области сходимости ряда надо отдельно исследовать сходимость в точках x=R и x=-R; в зав-ти от рез-тов этого исслед-я обл-ю сх-ти ряда м. б. один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]

103.Свойства степенных рядов .

Пусть функция S(x) есть сумма степенного ряда

S(x)= a_nxⁿ ,x €(-R;R) .

Какие свойства функции S(x)?

Теорема. Функция S(x) является дифференцируемой на интервале сходимости x €(-R;R) . Причем ее производная S’(x) может быть найдена почленным дифференцированием членов ряда .

S’(x) = (a₀ + a₁x + a₂x²+…+ a_nxⁿ +…)’= a₁ + a₂x+…+ a_nx^n-1 +…

при этом радиус сходимости полученного ряда равен R.Кроме того, степенной ряд можно почленно интегрировать.

Замечание. 1) При дифференцировании интервал сходимости (-R;R) остается неизменным. Однако ситуация в точках x= ±R может не совпадать с ситуацией, которая имеет место в исходном степенном ряде.