67.Интегрир-е путем замены переменной(подстановкой)

М-д подстановки

∫ f(x)dx= [x=φ(t),t=ψ(x),dx=φ’(t)dt] =∫f(φ(t)φ’(t)dt

Если интеграл непосредственно не вычисляется,можно применить метод,кот. состоит в след.:

-вводится новая переменная

x=φ(t),где t=ψ(x) явл. обратной по отношению к φ(t), dx=φ’(t)dt- дифференциал ф-ции x=φ(t)

Если подстановка выбрана удачно, то интеграл, получ в правой части, вычисляется проще, чем в исходной.

Если ф-ция x=φ(t) непрерывна и монотонна,то обратн. t=ψ(x) всегда сущ.

Вычислив интеграл в правой части по t,следует вернуться к переменной x

∫f(ψ(x)) φ’(x)dx=∫f(t)dt, где t=ψ(x)

1 ∫f(ax+b)dx= ax+b=t, x=(t-b)/a

dx=1/a dt

=∫f(t)1/a dt=1/a ∫f(t)dt=1/a F(t)+C=

=1/a F(ax+b)+C

2 ∫ f’(x)/f(x) dx= ln f(x) +C

3 ∫ df(x)/f(x) = ln f(x) +C

Метод интегрирования по частям

Задано: U=U(x), V=V(x),известно: d(UV)=VdU+UdV

проинтегрируем обе части уравнения:

∫ d(UV)= ∫ VdU+ ∫ UdV

UV=∫ VdU+ ∫ UdV=> ∫UdV=UV-∫VdU- ф-ла интегр-я по частям

Смысл ф-лы интегр-я по частям сост в след.: подинтегр выраж-е UdV разб-ся на 2 части т. о.,чтобы интеграл в правой части вычислялся проще,чем исходный.

Основные классы ф-ций,интегрируемых по частям:

1 ∫ ln^m(x)dx, ∫arcsin^mxdx, ∫arccos^m xdx,∫arctg^m xdx

2 ∫Pn(x)lnaxdx,∫Pn(x)e^axdx,∫ Pn(x)sinaxdx,

∫Pn(x)cosaxdx

3 ∫e^axsinbxdx,∫e^axbxdx

4 ∫ (x²+a²)½dx, ∫(a²- x²)½dx, ∫ dx/(x²+a²)^k

72.Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Ф-я вида , где x наз интегралом c перем верхним пределом.

Т: Если непрер на , то произв-я ф-и , сущ в каждой точке на , причем

73.Формула Ньютона-Лейбница (вывод)

Т: Если непрерывна на , справедлива ф-ла Ньютона-Лейбница:

ВЫВОД ФОРМУЛЫ:

Рассм-м , т.к. , то - первообразная для . Но , также первообразная. Это значит что имеет место следующее равенство :

Подставим верхнюю границу:

подставами вместо :

в силу 1-го свойства, что значении определенного интеграла независит от обозначения переменной интегрирования, запишем:

74.Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле

Формула интегрирования по частям для определенном интеграла.

Пусть заданны тогда имеет место интегрирование по частям:

→

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть непрерывна на , а непрерывна на . Вместе со своей производной ; причем , и сложная функция непрерывна на , тогда справедливо формула замены переменной для определенного интеграла:

75-77.Геометрич приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур:

1 . на и

2. на и

3 . на график имеет вид

4. даны две функции: и на промежутке

5 . на промежутке то получаем

6 . и на промежутке (графики ориентированны на )

7.вычисление площади плоской фигуры заданной системе к оординат. В полярной системе точка это пара чисел , любая линия равна .

Уравнение Лемниската-Берлуни

9. Вычисление длины дуги кривой. Пусть заданна на .

78-80.Определенный интеграл в экономических и физических задачах

1)Вычисление объема произведенной продукции. Известно, что производительность труда в течение рабочего дня меняется. Предположим, что известна непрерывная функ­ция f(x), которая характеризует измерение производительности от вре­мени . Определить объем продукции, произведенной рабочим за про­межуток времени от t₁ до t₂. Решение. Искомый объем можно рассматривать как сумму объемов продукции, произведенной за бесконечно малые отрезки вре­мени. Возьмем разбиение x_k отрезка t₁,t₂. В этом случае предел интегральных сумм при диаметре d0 разбиенийx_k отрезка t1,t2 даст искомый объем продукции. Этот предел существует, так как функция f(x) непрерывная, т.е.