- •1.Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины(или n столбцов одинаковой длины).
- •2.Умножение матрицы на число
- •3.Умножение матриц
- •2 Матр а и в соглас-е, если число строк матр а равно числу столбцов матр в, и наоборот.
- •9. Система m-линейных ур-й с n неизв-ми. Матричная запись системы. М-д обр матрицы. М-д Крамера.
- •10. Метод Гаусса. Эквив преобраз-я систем. Базисные и своб неизвестные. Критерий совместности.
- •Перестановка уравнений системы.
- •По исх сист записываем расшир матр системы.
- •Amn ≠ 0 – система имеет единственное решение
- •11. Системы линейных однородных уравнений.
- •13.Вектор на плоскости и в простр-ве. Лин опер-и над в-ми, их св-ва. Базис на пл-ти и в простр-ве. Ортонормированный базис.
- •21.Уравнение прямой-уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой и только этой прямой.
- •23.Углом между двумя прямыми называется любой из двух углов, образованных прямыми при их пересечении.
- •25.Расстояние от точки до прямой
- •26,27.Окружность
- •28.Гипербола, ее характеристики, геометрические свойства
- •29.Где идут буквы с нулями-это значит,например x0,только в уменьшенном варианте где s,n-это вектора ,сверху палочку подрисуйте¯; √- этот корень всегда доводите до конца выражения
- •30.Плоскость.Условие параллел-ти и перпендик-ти
- •1 Из спос-в зад-я пл-ти через зад точку m0(x0,y0,z0) с заданным нормальным вектором n(a;b;c)
- •31.Расстояние от точки до плоскости.Угол между плоскостями
- •32.Пр линия в пр-ве.Параметрич ур-е прям.Канонич ур-е пр
- •36.Предел числовой последовательности (чп).
- •X1, x2,…xn,…-числ послед.(1), xn-общ член чп.
- •37.Понятие ф-и. Сп-бы задания ф-й, оп-ции над ними. Обр ф-ия. Элемент ф-ии, их классификация.
- •39.Осн теоремы о пределах. Замечат пределы.
- •40.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- •1)Первая теорема Вейерштрасса
- •2) Вторая теорема Вейерштрасса
- •3) Теорема Больцано-Коши о промежут.Значении
- •43.Произв. Ф-ции. Геометр., механ., экон. Смысл произ-ной. Эласт-сть ф-ции, ее экон приложение.
- •45.Производная показательной неявной функции. Производные высших порядков:
- •47.Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.
- •55.Понятие функции многих переменных
- •56.Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных
- •57.Частные производные первого и второго порядка
- •58.Полный дифференциал функции 2-х переменных и его приложения
- •2) , Экстр-ма в т. Нет
- •3) , Треб-ся доп исслед-е
- •1) Выбор точки ; 2) устан-ть вид вычисл-мой ф-и
- •2) , Экстр-ма в т. Нет
- •3) , Треб-ся доп исслед-е
- •62.Наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных
- •1 Из алгоритмов реш-я этой задачи сводится к след
- •II этап
- •64,65.Неопред интеграл, первообразная и их св-ва.
- •67.Интегрир-е путем замены переменной(подстановкой)
- •72.Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •73.Формула Ньютона-Лейбница (вывод)
- •74.Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле
- •2)Определение средних значений
- •Издержек производства
- •2)И. На конечном промежутке
- •82.Дифференциальное уравнение(ду)
- •83.Ду 1го порядка
- •2)Имеет частную произв-ю по y для любой точки
- •92,93Лин неоднор ду 2-го порядка с пост коэфф-ми.
- •94.Числовой ряд и его сходимость.
- •2.Сумма ряда. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Гармонический ряд (док-во его расходимости).
- •96.Свойства сходящихся рядов
- •97.Достат признаки сх-ти ряда с положит членами.
- •98. Признаки сравнения рядов
- •101.Теорема Абеля.
- •103.Свойства степенных рядов .
- •2) Степенной ряд можно дифференцировать бесконечное число раз.
- •3) На произвольные функциональные ряды данная теорема без специальных предположений не распространяется.
- •104.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •105.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
- •106.Применение рядов в приближенных вычислениях. Оценка точности вычислений
- •99. Знакочеред ряды. Достат усл-е сх-ти (теорема Лейбница). Абсол и условная сходимость.
- •Определение опред. Интеграла
2) Степенной ряд можно дифференцировать бесконечное число раз.
3) На произвольные функциональные ряды данная теорема без специальных предположений не распространяется.
104.Ряды Тейлора и Маклорена.
Пусть задана f(x) в окрестности точки x= x0. Предп-м, что f(x) разл-ся в ряд по степеням (x- x0): т.е. ряд имеет вид
f(x)= a0 + a1( x - x0)+ a2( x - x0)2+…+ an( x - x0)n +… с радиусом сх-ти R ,(| x - x0 |<R). Этот ряд на инт-ле сх-ти | x - x0 |<R можно дифференцировать бесконечное число раз:
f n(x)=n∙(n-1)∙ …∙ an+(n+1) ∙n∙…∙3∙2an+1∙( x - x0) +…
Положим в каждом равенстве x= x0 . Тогда последовательно получаем коэффициенты Тейлора:
a0=f(x0), a1=(f ’(x0))/1!, a2=(f ’’(x0))/2!,… an=( f n (x0))/n!
Итак, если функция f(x) разлагается в ряд по степеням ( x - x0), то этот ряд имеет вид :
f(x)= f(x0)+ f ’(x0) ( x - x0)+ (f ’(x0) ( x - x0)2)/2!+…+ =( f n (x0) ( x - x0)n)/n! +…= ( f n (x0) ( x - x0)n)/n!
Опр-е. Степ ряд такого вида наз рядом Тейлора ф-и f(x) в т. x0 . Если x0 = 0 , то такой ряд наз рядом Маклорена.
Теорема. (дост. условие разложения в ряд Тейлора).
Если ф-я f(x) и ее произв-е любого порядка ограничены в окр-ти т. x0: (| x - x0 |<R) одним и тем же числом M, то ее ряд Тейлора сх-ся к самой f(x ) для любого x из этой окр-ти | x - x0 |<R . Если ф-я f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.
Остаточный член ряда Тейлора.
Обозначим Tn (x) сумму первых членов ряда Тейлора:
Tn (x) = f(x0)+ f ’(x0) ( x - x0)+…+ =( f n (x0) ( x - x0)n)/n!
Остаточным членом ряда Тейлора называют разность:
Rn (x) = f(x)+ Tn (x)
Таким образом, имеет место формула Тейлора:
f(x)= f(x0)+ f ’(x0) ( x - x0)+…+ =( f n (x0) ( x - x0)n)/n!+ Rn (x)
Важно знать, как устроен остаток Rn (x)
Теорема. Если ф-я f(x) имеет произв-ю (n+1)-го порядка f (n+1)(x) в окр-ти точки x0 , то остат член имеет вид:
Rn (x) = ( x - x0)n+1)/(n+1)!∙ f (n+1)(ξ), где ξ -некот точка, леж м/д x и x0 . Само по себе выражение для Rn (x) не дает возможности вычислять его величину, так как неизвестна точка ξ , в которой f (n+1)(x) вычисляется .
105.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
Если ф-ция f(x) явл. суммой степенного ряда в каком-либо промежутке,то говорят,что f(x) в этом промежутке разлагается в степенной ряд.
Практически важное достаточное условие разложения ф-ции в ряд Тейлора выражается следующей теоремой: если производные любого порядка ф-ции f(x) ограничены в окрестности U(x0) точки x0 одним и тем же числом С,т.е. |f(n) (x)| ≤C (n=1,2,3,…),то ряд Тейлора этой ф-ции сходится к f(x) для любого xиз этой окрестности.
Если ф-ция f(x) разложима в ряд Тейлора,то это разложение единственное.
Приведем разложения в степенной ряд (ряд Маклорена)некоторых элементарных ф-ций:
ex=1+x/1!+x2/2!+…+xⁿ/n!+… (-∞<x<∞),
sinx=x/1!-x³/3!+x5/5! –x77! +...+(-1)ⁿ x2n+1/(2n+1)!+...
(-∞<x<+∞),
cosx=1 - x²/2!+x4/4! – x6/6!+...+(-1)ⁿ x2n/(2n)!+…
(-∞<x<+∞),
ln(1+x)=x – x²/2+x³/3 – x4/4+...+(- 1)n-1 xⁿ/n+...
(-1<x≤1),
(1+x)m=1+mx/1!+m(m-1)x²/2!+m(m-1)(m-2)x³/3!+...+
+m(m-1)...(m-n+1)xⁿ/n!
Последнее разложение имеет место при любом действительном числе m,если -1<x<1