92,93Лин неоднор ду 2-го порядка с пост коэфф-ми.
Рассмотрим уравнение y´´+py´+qy=r(x) /где p,q € R , r(x)-функция.
которое имеет вид y=yO+yЧ, где
yO-общее решение уравнения y´´+py´+qy =0
yЧ-частное решение уравнения y´´+py´+qy=r(x) , которое зависит
от вида правой части,т.е r(x)
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1) r(x)=Pn(x) ,где Pn(x) – многочлен степени «n»
В этом случае решение yЧ ищут из уравнения к²+pк+q=0 в виде:
• yЧ=Qn(x) при q≠0
• yЧ=x Qn(x) q=0, p≠0
• yЧ=x² Qn(x) q=p=0
2)
r(x)=а
где а,м € R
, а,м =соnst
Вид частного решения следущее:
• yЧ=А если «м» не явл корнем Ур-я к²+pк+q=0
(корни некратные,некомплексные)
• yЧ=Аx если «м» –простой корень ур-я к²+pк+q=0
•yЧ=Аx² если «м»-кратный корень Ур-я к²+pк+q=0
3) r(x)=acosmx+bsinmx где a,b,m=const
• yЧ= Acosmx+Bsinmx при условии что p²+(q-m²)≠0
• yЧ= x(Acosmx+Bsinmx) если p²+(q-m²)=0, p=0,q= m²
94.Числовой ряд и его сходимость.
Пусть
задана бескон послед-ть чисел
…
Тогда
+
+…
+…=
(1) наз числовым рядом, а числа
-члены ряда,
-общий
член ряда.
2.Сумма ряда. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Гармонический ряд (док-во его расходимости).
Сумма
вида
=
=
+
=
+
=
+
+…
=
+
Называется частичными суммами ряда 1,
а последовательность (2) называется последовательность частичных сумм ряда (1)
Ряд (1) наз сход,если сх-ся посл-ть его частичных сумм(2)
т.е
если
=S
При этом число S называется суммой ряда (1)
А
если
=
или не сущ то ряд (1) наз расход.
Примеры рядов:
•
расходится
•
сходится
•
=
сх-ся только если /q/<1
=>S=
,q≠0
Док-во
расх-ти гармонического ряда по Коши:
f(x)=1/x
=
;
=
(lnx)
=
(lnB*0),где
lnB→
96.Свойства сходящихся рядов
Пусть
задан ряд
(1),если в ряде 1 отбросить первые n
членов , то пол-м ряд (3)
=
+
+…+
…
, кот наз остатком ряда (1)
ТЕОРЕМА:
Ряд 1 и его остаток-ряд 3 сх-ся или расх-ся одновременно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть
-частичная
сумма ряда 1 ,а
-частичная сумма ряда 3. ТО
=
+
=
(
+
)
и посл пр-л сущ, если сущ пр-л
.
СЛЕДСТВИЕ:
Если в ряде 1 отбросить конечное число членов,то это не влияет на сходимость ряда.
Т.: Для того чтобы ряд 1 сх-ся необходимо и достаточно!
=0,
где
=
+
+…+
Сходящиеся ряды можно:
-умножать на одно и тоже число
-почленно складывать и вычитать
Необходимый признак сходимости ряда (док-во).
Теорема: Если ряд 1 сх-ся, то его n-ый член → к 0,т.е =0
Доказательство.
Пусть
ряд S-
сумма ряда 1(т.к по условию ряд сходится).т.е
=S
=
-
=
-
Следствие: если не стремится к 0 ,при n→ , ряд 1 расходится
97.Достат признаки сх-ти ряда с положит членами.
Признак Даламбера:
Пусть
задан ряд
и
сущ
,
тогда
если l<1, ряд сх-ся
l>1, ряд расх-ся
l=1, ?
Признак Коши:
Пусть
задан
и
сущ
,
тогда если
l<1, ряд сх-ся
l>1, ряд расх-ся
l=1, ?
Интегральный признак Коши:
Пусть
задан ряд
,
члены кот положит и не возр-т, т.е.
,
а ф-я f(x) непрер, невозраст на [1;∞)
f(1)=a1, f(2)=a2…f(n)=an
Тогда
сх-ся
или расх-ся одновр-но.