1. Электростатическое поле. Напряженность.

1 . Экспериментально в 17 веке установлено, что в природе существует два вида электрических зарядов: положительные и отрицательные заряды. По современным представлениям известно, что тела состоят из атомов, в которых положительный заряд протонов в ядре атома компенсируется отрицательным зарядом такого же числа электронов оболочки атома. Электроны могут сравнительно легко перемещаться. Следовательно, отрицательный заряд тела обусловлен избытком электронов, а положительный – недостатком электронов по сравнению с числом протонов. Электрический заряд тел или частиц является дискретным, кратным элементарному заряду электрона –1,6∙10^-19 Кл.

2. В электрически изолированной системе тел алгебраическая сумма зарядов тел постоянна. Это закон сохранения электрического заряда. Он обусловлен постоянством числа протонов и электронов в системе тел.

3. Единственным экспериментальным законом электростатики является закон Кулона для силы взаимодействия точечных зарядов (рис.1.1).

Сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются.

1.1

Здесь ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды, учитывает ослабление взаимодействия электрических зарядов явлением поляризации среды, ε₀ = 8,65∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная, коэффициент пропорциональности между механическими и электрическими единицами. Заряженное тело можно считать точечным, если его размеры много меньше расстояний между телами.

4. Взаимодействие между неподвижными заряженными телами осуществляется посредством электростатического поля. Это одна из форм существования материи. Электрические заряды изменяют состояние окружающей среды, создают электростатическое поле, которое обнаруживается по действию на другой заряд, внесенный в поле. Отношение силы к величине внесенного заряда является силовой характеристикой поля, называемой напряженностью

. 1.2

Направление вектора напряженности совпадает с вектором силы, действующей на положительный заряд, внесенный в данную точку поля.

Внесем в поле точечного электрического заряда небольшой пробный заряд. Пробный заряд настолько мал, что не искажает распределения зарядов на теле – источнике поля. Сила, действующая на пробный заряд, определяется законом Кулона. Поделим формулу силы 1.1 на величину пробного заряда q₂ и после сокращения получим формулу напряженности поля, создаваемого точечным зарядом q

. 1.3

Здесь r – длина радиус-вектора от заряда до точки наблюдения.

5. Если поле создается не одним, а несколькими точечными зарядами, то вектор результирующей напряженности определяется, согласно принципу суперпозиции, векторной суммой напряженностей полей отдельных зарядов: . Если заряды распределены непрерывным образом по объёму тела, либо по поверхности, либо по длине, то выбирается малый заряд dq, который можно считать точечным и суммарная напряженность определяется векторным интегралом: . Здесь вектор направлен по радиус-вектору для поля положительного заряда и в обратном направлении для отрицательного заряда. Для получения скалярных уравнений векторные суммы и интеграл проецируются на оси координат.

6. Для наглядности электростатическое поле изображают с помощью силовых линий. Это линия в пространстве, касательные к которой совпадают с вектором напряженности. Линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах, либо уходят в бесконечность. Густота силовых линий пропорциональна напряженности поля (рис.2).

7. В некоторых задачах с симметричным расположением электрического заряда на телах можно заранее предсказать распределение напряженности в пространстве. В этом случае становится удобным для расчета напряженности применение теоремы Гаусса.

Введем понятие потока вектора напряженности как скалярного произведения вектора напряженности на вектор элементарной площадки, которую пронизывают силовые линии поля, . Здесь угол α – угол между вектором напряженности и вектором площади, который направлен по нормали к площадке. Поток пропорционален числу силовых линий, пронизывающих площадку.

О пределим поток вектора напряженности сквозь сферу произвольного радиуса, в центре которой поместим точечный заряд, как интеграл от элементарного потока напряженности . Силовые линии направлены радиально от заряда и пронзают элементы сфера по нормали к их поверхности, то есть cos α=1 (рис.3). Величина вектора напряженности одинакова во всех элементах сферы. Вынесем напряженность за знак интеграла . Интеграл, то есть сумма элементарных площадок, будет равна площади сферы 4πrR². Подставим формулу напряженности поля точечного заряда 1.3. В результате поток вектора напряженности сквозь поверхность сферы будет .

Обобщим полученный результат на произвольную замкнутую поверхность (пунктир на рис. 4). Число силовых линий, пронзающих её такое же, как и через сферу. Значит, потоки напряженности будут одинаковы. Во-вторых, если внутри имеется не один заряд, а несколько, то потоки напряженностей от зарядов по принципу суперпозиции складываются. В итоге, в общем случае теорема Гаусса имеет вид

. 1.4.

Поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхности равен отношению алгебраической суммы зарядов внутри поверхности к абсолютной диэлектрической проницаемости среды.

Количество задач, решаемых с помощью теоремы Гаусса невелико. Поверхность интегрирования выбирается так, чтобы на одних участках вектор напряженности был постоянен, на других вектор напряженности скользил бы, не пронизывая поверхность, и поток через неё был бы равен нулю.

8 . Например, рассчитаем напряженность бесконечной плоскости, заряженной равномерно с поверхностной плотностью заряда σ (рис. 1.4). В ыберем поверхность интегрирования в форме цилиндра, торцы которого расположены по обе стороны плоскости, параллельно ей. Поле бесконечной плоскости однородное. Поток выходит из обоих торцов и равен 2ES. Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю. Электрический заряд внутри цилиндра сосредоточен на диске, вырезанном цилиндром (на рис. 1.4 затенен). Он равен произведению поверхностной плотности заряда на площадь диска σS. По теореме Гаусса . Оттуда напряженность поля заряженной равномерно плоскости вблизи её середины равна . Поле вблизи середины равномерно заряженной плоскости однородное.