17. Уравнения максвелла

Максвелл теоретически установил связь между электрическими и магнитными полями, которая проявляется в том, что эти поля могут взаимно превращаться друг в друга.

Первое уравнение Максвелла.

1. Максвелл, основываясь на опытах Фарадея по изучению явления электромагнитной индукции, вывел закон: ЭДС электромагнитной индукции в контуре, помещенном в магнитное поле, равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром: ε . Если контур неподвижен, а магнитное поле изменяется, то возникает вопрос: какова природа сторонних сил, приводящая в движение электрические заряды внутри проводящего контура? Как известно, сторонние силы не могут быть электростатическими. Максвелл выдвигает гипотезу, что около изменяющегося магнитного поля возникает электрическое поле, но это вихревое электрическое поле, силовые линии которого замкнуты. Это поле существует и без контура, который только обнаруживает его.

ЭДС контура, как источника тока, равна циркуляции напряженности поля сторонних сил, то есть напряженности вихревого электрического поля, по контуру: ε . Если в пространстве ещё имеется электростатическое поле, то его вклад в циркуляцию напряженности равен нулю. Магнитный поток, по определению, равен . Таким образом, закон Фарадея преобразуется в первое уравнение Максвелла

. 17.1

Циркуляция напряженности электрического поля равна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром.

Вихревое электрическое поле возникает также в системах отсчета, которые перемещаются относительно магнитного поля. Например, заряд движется в магнитном поле и на него действует сила Лоренца . В системе отсчета «заряд» заряд неподвижен, но на него действует такая же по величине и направлению сила. Это сила со стороны вихревого электрического поля , существующего в подвижной относительно магнитного поля системе отсчета. Напряженность вихревого электрического поля равна .

2. Существование вихревого электрического поля подтверждается экспериментально. Во-первых, в массивных проводящих телах быстропеременное магнитное поле возбуждает вихревые токи. Вихревые токи нагревают тела. Чтобы магнитопроводы трансформаторов, якорей электродвигателей не нагревались, их собирают из тонких пластин, так чтобы слой окалины между пластинками препятствовал протеканию токов. В индукционных печах наоборот теплота, выделяемая вихревыми токами, позволяет плавить материалы без контакта с пламенем и даже в вакууме.

В индукционном ускорителей электронов – бетатроне электроны разгоняет вихревое электрическое поле. Ускоритель состоит из электромагнита, между полюсами которого находится вакуумная камера в форме тора (рис. 17.1). Электромагнит подключен к генератору переменного тока. В момент включения магнитного поля в камеру впрыскиваются электроны и ускоряются силами вихревого электрического поля . Напряженность электрического поля определим по окружности, проходящей по середине камеры, на которой она постоянна из симметрии магнитного поля. Интегрируя первое уравнение Максвелла (17.1), получим . Откуда . Электроны разгоняются четверть периода колебания, пока индукция магнитного поля возрастает. В следующую четверть периода частицы будут тормозиться. Скорость в конце разгона определим, решая уравнение второго закона Ньютона . Подставив формулы силы, получим . Интегрируя уравнение по скорости от нуля до V и по индукции от нуля до В₀, получим формулу скорости электрона в конце разгона

. 17.2

На круговой траектории внутри тора электроны удерживаются магнитной силой Лоренца.

Ещё один пример проявления вихревого электрического поля это явление скин-эффекта. При протекании высокочастотного тока по проводнику происходит вытеснение тока к поверхности проводника. Пусть сила тока в проводнике возрастает (рис. 17.2). Густота силовых линий магнитного поля внутри проводника тоже возрастает. Появляется вихревое электрическое поле и вихревой электрический ток, направление которого определяется правилом Ленца. В середине проводника вихревой ток ослабляет возрастание силы тока, а на поверхности – усиливает. В следующую четверть периода при спаде тока всё должно происходить наоборот, но слабый ток и слабое магнитное поле не могут создать вихревых токов достаточной силы. Итак, ток течет практически по поверхности. В высокочастотной аппаратуре в качестве проводников применяют трубки, а их поверхность покрывают серебром с высокой электропроводностью.

Второе уравнение Максвелла.

3 . Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника переменного тока и конденсатора (рис. 17.3). В этой цепи по проводам течет переменный ток, потому что половину периода конденсатор накапливает заряды и заряжается, а вторую половину периода разряжается. Но внутри конденсатора свободные заряды отсутствуют и тока проводимости нет.

При протекании тока около проводников возникает магнитное поле. Индукцию магнитного поля можно определить по закону полного тока для некоторого контура, охватывающего проводник . Здесь сумма токов пронизывает произвольную поверхность, ограниченную контуром. Если эта поверхность диск, то ток проводника его пересекает и индукцию магнитного поля можно определить. А если эта поверхность в форме цилиндра, дно которого внутри конденсатора, то его поверхность токи не пересекают, и магнитного поля нет. Возникает парадокс.

Максвелл предложил гипотезу, что внутри конденсатора течет так называемый ток смещения. Предполагалось, что он обусловлен смещением связанных зарядов диэлектрика. Но между обкладками может быть вакуум. По гипотезе Максвелла ток смещения обусловлен изменением электрического поля конденсатора.

Ток смещения замыкает ток проводимости и равен ему. Сила тока в цепи, по определению, равна скорости изменения заряда конденсатора: . Поверхностная плотность заряда на обкладках равна вектору смещения электрического поля конденсатора. Тогда заряд связан с параметром электрического поля . Сила тока смещения равна. . Добавив ток смещения в общем случае к току проводимости, преобразуем закон полного тока во второе уравнение Максвелла

. 17.3

Циркуляция вектора индукции магнитного поля равна алгебраической сумме токов проводимости и тока смещения электрического поля сквозь поверхность, ограниченную контуром.

В скобке стоит сумма плотности тока проводимости и плотности тока смещения. Для нахождения направления вектора индукции магнитного поля, созданного током смещения, справедливо правило буравчика, который надо вворачивать в направлении тока смещения, то есть в направлении возрастания вектора смещения электрического поля.

Третье и четвертое уравнения Максвелла

4. Максвелл включил в систему уравнений электромагнитного поля теорему Гаусса для электростатического поля

. 17.4

Поток вектора напряженности электростатического поля сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри поверхности к диэлектрической проницаемости среды,

и теорему Гаусса для магнитного поля

. 17.5

Поток вектора индукции магнитного поля сквозь замкнутую поверхность равен нулю. В правой части стоит нуль, потому что магнитные заряды в природе не обнаружены.

5. Закон Ома для однородной проводящей среды. Поверхностная плотность силы электрического тока равна отношению напряженности электрического поля к удельному сопротивлению среды: .

Система уравнений Максвелла была впервые в науке теоретическим открытием, сделанным до экспериментальных опытов, На основе уравнений были предсказано существование электромагнитных волн, скорость которых равна скорости света. Механическая теория распространения света в эфире была заменена электромагнитной теорией, для которой эфир не нужен.