26 Означення інтегралу від ф-ї кз. Формули для обчислення інтегралу.

Нехай ф-я визначена для всіх точок області на КП, - гладка крива, замкнена або незамкнена, що належить цій обл. Тоді , де на відрізку кривої задано розбиття , так що співпадає з точкою А, а - з точкою В, знаходиться на між точками та .

Для ф-ї КЗ його можна переписати у наступному вигляді: Формули для обчислення інтегралу:

• Для інтегралів аналітичних за Коші ф-й залишаються всилі поняття первісної, звичайні правила інтегрування та формула Ньютона-Лейбніца.

• Згідно інтегральної теореми Коші інтеграл вздовж замкнутого контуру дорівнює нулю.

• Для обчислення інтегралів КЗ також використовується інтегральна формула Коші:

27 Теорема Коші для однозв’язної області

Якщо ф-я аналітична в однозв’язній обл. , то інтеграл від цієї ф-ї по будь-якому замкнутому контуру , що лежить обл. , рівний нулю .

Доведення: Припустимо що похідна неперервна. Маємо

. В силу аналітичності і неперервності в однозв’язній обл. , то ф-ї і неперервні і диференційовні в цій обл. і задовольняють умовам Коші-Рімана: , . Ці умови означають рівність нулю інтегралів і . Звідси слідує, що .

28 Теорема Коші для багатозв’язної області

Розглянемо на прикладі 3-звязної обл. , що обмежена зовнішнім контуром і внутр. контурами та . Проведемо 2 розрізи і області , отримаємо однозв’язну обл. , обмежену замкнутим контуром , що складається з контурів , , і розрізів та : . По теоремі Коші для однозв’язної обл. , але , так як кожний із розрізів і при інтегруванні проходиться двічі різними напрямами. Тому отримуємо , тобто інтеграл від аналітичної в замкнутій області ф-ї по границі області , що проходиться в додатному напрямку, рівний нулю.

29 Інтегральна формула Коші. Інтеграл Коші. Формула для похідної аналітичної функції.

Твердження про те, що інтеграл вздовж замкнутого контуру , якщо функція аналітична в області, яка містить контур , називається інтегральною теоремою Коші.

Інтегральна формула Коші: Нехай функція - аналітична в області , яка повністю містить контур .Точка знаходиться всередині контуру . Тоді

Наслідком інтегральної формули Коші є формула для похідних аналітичних функцій:

30 Степеневі ряди в комплексній формі. Теорема Абеля. Круг збіжності ряду.

Функціональний ряд вигляду називається степеневим рядом в околі точки .

Теорема Абеля: Якщо степеневий ряд збігається при , то він абсолютно збігається і при всіх значеннях , таких що .

Кругом збіжності степеневого ряду з комплексними членами звуть такий відкритий круг , що в кожній його точці ряд збігається абсолютно, а в кожній точці, за межамцього кругу – розбігається.

На межах інтегралу збіжності, в точках , ряд може збігатися, а може й розбігатися.

31 Ряд Тейлора. Теорема про розвинення аналітичної ф-ї в степеневий ряд.

Ряд вигляду називається рядом Тейлора для ф-ї в околі точки , якщо то рядом Маклорена.

Ф-ю можна представити наступним розкладом:

1. Нехай: тоді

,

2. Нехай: , тоді при .

3. Нехай: , тоді , де , за умови, що для ненульових є натуральним числом

4. Нехай: при .

тоді ,