21 Функція комплексної змінної. Границя. Неперервність

Означення: функція яка встановлює відповідність між двома множинами комплексних чисел називається функцію комплексної змінної.

Означення: Границею послідовності комплексних чисел ,… називається таке комплексне число , що . Якщо , а , то , тобто, для того, щоб сума невід’ємних чисел прямувала до нуля потрібно, щоб та .

Таким чином збіжність послідовності комплексних чисел еквівалентна одночасній збіжності їх дійсних та уявних частин до відповідно дійсної та уявної частин комплексного числа . Якщо хоча б одна з цих послідовностей прямує до нескінченості, то кажуть, що границею послідовності є невласне (нескінчене) комплексне число, якому на комплексній площині відповідає так звана нескінченно віддалена точка.

Функція називається неперервною в точці , якщо :

1. вона визначена в деякому околі цієї точки , включаючи саму цю точку.

2. існує скінченна границя

3. 

22 Основні елементарні ф-ї кз:

Можливість розгляду степеневих рядів з комплексними членами визначає можливість розгляду елементарних ф-й КЗ.

Використовуючи формулу Ейлера, отримаємо:

Важливою властивістю показникової ф-ї комплексного аргумента є те, що вона є періодичною з уявним періодом

Оскільки для ф-й КЗ експонента є періодичною, то для оберненої до неї логарифмічної являється багатозначною (багатолистою).

Всилу того, що в обл. КЗ показникові та тригонометрична ф-ї пов’язані через формулу Ейлера, обернені тригонометричні ф-ї виявляються пов’язаними з логарифмами.

23 Диференціювання ф-ї комплексної змінної (фкз). Умови Коші-Рімана

ФКЗ називається диференційовною в точці , якщо вона визначена в цій точці та деякому її околі і має місце рівність: , . Похідною ф-ї називається: .

• існування скінченої похідної ф-ї в точці рівносильне її диференційовності;

• якщо ф-я диференційовна, то вона неперервна в точці, проте не напаки;

Теор.: Для того, щоб ф-я була диференційовною в точці необхідно і достатньо виконання наступних умов:

• ф-ї та повинні бути неперервно диференційовними в точці

• Справедливі умови Коші-Рімана:

Доведення:

Покладемо

Тепер покладемо

24 Аналітична ф-я. Гармонічна ф-я.

Ф-я назив. аналітичною за Коші в деякій обл., якщо її похідна неперервна в цій обл.

Ф-я називається гармонічною, якщо вона задовольняє рівнянню Лапласа:

Пара ф-й та , які є гармонічними між собою називаються парою спряжених гармонічних ф-й.

25 Геометричний зміст модуля та аргументу похідної ф-ї кз. Поняття про конформне відображення.

Оскільки ф-я здійснює відображення точки на одній КП у точку на іншій КП, то розглянемо нескінченно малий вектор кінці якого знаходяться в точках і дослідимо його зв'язок з вектором

Модуль похідної є коефіцієнтом розтягнення (стиснення) нескінченно малого вектора при відображенні його, що здійснюється ф-єю .

Аргумент похідної являє собою кут повороту того ж вектора при вказаному відображенні.

Взаємно однозначне відображення області площини на область площини називається конформним, якщо в кожній точці області воно має властивість збереження кутів та постійності розтягнення. Для того, щоб відображення області , що задається ф-єю , було конформним, необхідно і достатньо, щоб була однолистною та аналітичною в області ф-єю, при цьому скрізь в обл. .