38 Означення функції-оригіналу. Означення перетворення Лапласа. Теорема існування. Необхідна умова існування зображення.

• Ф-я називається оригіналом, якщо вона задовольняє наступним вимогам:

• 

• - неперервна при за винятком можливо скінченої кількості точок розриву першого роду на кожному скінченому інтервалі

• існують такі числа , що

Означення: інтегральний оператор , який переводить функцію-оригінал у функцію-зображення , визначену за допомогою інтеграла Лапласа ( ) називається оператором або перетворенням Лапласа.

Теорема проіснування зображення. Для всякого оригіналу зображення існує в півплощині , де -показник росту функції , причому ф-я є аналітична в цій півплощині ( )

Доведення першої частини теореми. Нехай довільна точка півплощини .

Враховуючи що знаходимо: = ,

Так як і Таким чином . Звідси випливає абс. Збіжність інтегралу , тобто зображення існує і однозначне в півплощині .

Необхідна умова існування зображення. Якщо ф-я являє собою зображення ф-ї , то при . Це твердження витікає безпосередньо з нерівності , коли . Так як -аналітична ф-я в півплощині , то при по любому напрямку.

39 Властивості перетворення Лапласа

• лінійність: нехай , тоді - випливає з лінійності інтеграла

• подібність: нехай , тоді

Доведення:

• зсуву: нехай

Доведення:

• запізнення:

Доведення:

• диференціювання оригіналу:

Доведення:

• диференціювання зображення:

Доведення:

• інтегрування оригіналу:

• інтегрування зображення: - випливає з властивості диференціювання зображення.

40 Теорема Бореля. Згортка функцій. Зображення згортки.

Теорема Бореля: Зображення згортки оригіналів дорівнює добутку їх зображень.

Інтеграл вигляду називають згорткою функцій та і позначають . Зображення згортки ф-й відповідно до теор. Бореля:

Згортка ф-й має властивість комутативності та асоціативності.

41 Інтеграл Дюамеля. Зображення періодичного сигналу.

Якщо , то оригінал зображення має вигляд - формула (інтеграл) Дюамеля.

Доведення: Спираючись на теорему про диференціювання зображення отримаємо:

В результаті маємо два інтеграли Дюамеля:

Нехай оригінал є ф-я періодична з періодом . Тоді

Позначимо інтеграл і зауважимо, що .

42. Формула Рімана-Мелліна

Якщо ф-я F(p) - зображення ф-ї-оригіналу f(t), то f(t) може бути знайдена за формулою

Ця рівність має місце в кожній точці, в якій f(t) неперервна. В точках разриву ф-ї f(t) значення правої частини рівне :

Інтеграл в правій частині формули називають інтегралом Мелліна; інтегрування може проводитись по любій вертикальній прямій p = σ + i ω, σ = const > σ0, − ∞ < ω < ∞, і інтеграл розуміється в смислі головного значення: .

43 Застосування операційного числення.

1. Розв’язання систем ЛДР

2. Розв’язання інтегральних рівнянь спеціального вигляду – наприклад рівняння вигляду інтегральне рівняння Вольтера другого роду.

3) За допомогою перетворення Лапласа також можна розв’язувати диференціальні рівняння з аргументом, що запізнюється, тобто таких диференціальних рівнянь у яких функції що в них фігурують, обчислюються при різних значеннях аргументу.

4) За допомогою операційного методу можна зводити диференційні рівняння в частинних похідних до звичайних дробово-раціональних, при цьому перетворення Лапласа застосовуються по тій змінній, яка змінюється від 0 до , або деякого іншого напів нескінченного інтервалу.

Оригінали	Зображення