Линейная и квадратичная интерполяция.

Локальная интерполяция состоит в том, что в рассмотрение принимается не все точки из таблицы, а лишь некоторые их подмножества, которые наиболее близко расположены от новой точки.

Линейная интерполяция состоит в том, что заданные в таблице точки (x_i;y_i), (x_i+1;y_i+1) соед. Прямыми. Т.о. неизвестная функция заменяется ломанной линией с вершинами в узлах интерполяции.

Уравнения каждого отрезка ломаной в каждом случае разные. Поскольку имеется n интервалов (x_i-1,x_i), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. Для любого i-го интервала, лежащего между (x_i-1,y_i-1) и (x_i, y_i) уравнение имеет вид:

о тсюда

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, которому принадлежит значение аргумента x, а затем подставить его в формулу y = a_ix + b_i и найти приближенное значение функции в этой точке.

Рассмотрим случай квадратичной интерполяции. В качестве интерполяционной функции на отрезке принимается квадратный трехчлен. Этот вид интерполяции также называют параболической. Уравнение квадратного трехчлена:

Он содержит три неизвестных коэффициента a_i,b_i, c_i. Для их определения необходимы три уравнения. Ими служат условия прохождения параболы через три точки: (x_i-1, y_i-1), (x_i,y_i), (x_i+1, y_i+1).

Эти условия записываются в виде:

Решив эту систему уравнений, получим значения a_i,b_i,c_i. Интерполяция для любой точки

проводится по трем ближайшим к ней узлам.

16. Характер экспериментальных данных.

При интерполировании функций мы использовали условия равенства значений интерполяционного многочлена и данной функции в известных точках - узлах интерполяции. Такой подход предъявляет высокие требования к точности данных значений функции. В случае обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений или измерений, нужно иметь в виду ошибки этих данных. Они могут быть вызваны несовершенством измерительного прибора, субъективными причинами, различными случайными факторами и прочим. Ошибки экспериментальных данных можно условно разбить на три категории по их происхождению и величине: систематические, случайные и грубые.

Систематические ошибки обычно дают отклонение в одну сторону от истинного значения измеряемой величины. Они могут быть постоянными или закономерно изменяться при повторении опыта, и их причина и характер известны. Систематические ошибки могут быть вызваны условиями эксперимента, дефектом измерительного прибора, его плохой регулировкой и т.д.

Случайные ошибки определяются большим числом факторов, которые не могут быть устранены либо достаточно точно учтены при обработке результатов. Они имеют случайный характер, дают отклонение от средней величины в разные стороны и не могут быть устранены в эксперименте. Статистическая обработка экспериментальных данных позволяет определить величину случайной ошибки и довести ее до некоторого приемлемого значения повторением измерений.

Грубые ошибки явно искажают результаты измерения; они обычно пропадают при повторении опытов. Измерения с такими ошибками в расчет при окончательной обработке эксперимента не принимаются.

Следовательно, в экспериментальных данных всегда имеются случайные ошибки. Их можно сделать бесконечно малыми за счет многократного повторения эксперимента. Однако, это может быть не всегда выгодно экономически или с точки зрения затрат времени. Гораздо проще и быстрее можно уточнить данные хорошей математической обработкой экспериментальных данных.