3. Усовершенствование итерационного процесса. Условия для выбора числа r. Геометрическая интерпретация Модификация итерационного процесса.

Применение метода итераций может быть затруднено тем что функция (x) несжимающаяся. Помимо этого при выводе нового метода можно потребовать увеличения скорости сходимости.

Рассмотрим исходное уравнение f(x)=0 (1). Преобразуем (1) следующим образом

rf(x) = 0, r – константа, r≠0, прибавим х → x = x + rf(x), мы получаем формулу нового итерационного процесса, где x = φ(х) (2) → φ(х) = x + rf(x). x^k+1 = x^k+rf(x^k) (3)

Решение (2) будет, является решением (1). Главным вопросом является задание числа r делающее функцию φ(х) сжимающейся в тех случаях, когда она не сжимающаяся.

Выберем число r исходя из условия, что нам известен корень.

|φ`(х)|<1, 1+ rf (x*)<1 → -1<1+ rf (x) < 1 → -2< rf (x) < 0 → -2/f (x) < r < 0

Т.о. из условия сжатия функции (x) получим рекомендации для выбора числа r обеспечивающего сходимость функции (3).

Геометрическая интерпретация.

В полученном итерационном процессе число r соответствует tgβ углу наклона касательной к графику функции f(x) в точке х=х^*.

Данное требование не всегда будет иметь место в силу нелинейности f(x), то есть в точках tgβ будет сильно отличаться что не гарантирует сходимость метода.

4. Метод Ньютона для решения нелинейного уравнения. Условия сходимости метода. Геометрическая интерпретация. Метод Ньютона.

В усовершенствованном методе простой итерации есть недостаток: r - константа на протяжении всего процесса поиска корня. Однако нет препятствий для изменения этого значения в процессе выполнения итерационного процесса. Потребуем чтобы ’(x)=0, 1+ rf’(x)=0 → r(x)=1/f’(x)

x^k+1 = x^k-f(x^k)/f’(x^k)

Условие сходимости метода Ньютона

П отребуем сжатия функции (x)=x-f(x)/f’(x) при x є [a;b]. Для любых двух произвольных точек х₀,х₁ є [a;b] длина этого отрезка ([х₀,х₁]) должна уменьшаться при выполнении итерации. Т.е. будет выполняться следующее условие:

Если длина отрезка |х₁ - х₀| → 0 (достаточно мала) и х₁ → х* (достаточно близко от х*), то будет выполняться следующее отношение: |f(x₁)|≈ |f(x₁)| |х₁-х₀|. Основываясь на этом отношении, можно записать:

В итоге получаем:

|φ(x₁)-φ(x₀)|<q| х₁ - х₀|

Геометрическая интерпретация.

Касательная в т. B_n y – f(x) = f(x)(x-x_n).

5. Метод секущих для решения нелинейных уравнений. Условие сходимости. Геометрическая интерпретация. Метод секущих.

К ак известно . При численном вычислении производная вычисляется приближенно . Будем вычислять производную как разность функции в двух точках х^k и х^k-1, расстояние между которыми мало. В этом случае итерационная формула метода Ньютона преобразуется в формулу метода секущих: