6. Метод Стефенсона. Условие сходимости метода. Геометрическая интерпретация. Метод Стефенсона.

Будем вычислять производную следующим образом: .

Т.о. в числовом виде производная будет вычисляться: . Предположим, что z^k=x^k+f(x^k). Подставим эти замены в формулу метода Ньютона

Геометрическая интерпритация.

П риближение xⁿ получается как абсцисса т. пересечения с 0x секущей, проходящей через т. Мⁿ и Nⁿ c координатами (x ⁿ , f(x ⁿ)) и (z ⁿ , f(z ⁿ )).Значение z ⁿ соответствует абсциссе т. пересечения с осью 0x прямой y = f(x ⁿ ) – (x - x ⁿ ), проходящей через т. Мⁿ и параллельной прямой y = - x.

7. Численные методы линейной алгебры.

К численным методам линейной алгебры относятся численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, обращения матриц, вычисления определителей и нахождения собственных чисел и собственных векторов матриц.

Методы решения СЛАУ разделяется на две группы. К первой группе относится точные или прямые методы – алгоритмы, позволяющие получить решение системы за конечное число арифметических действий. К этой группе относится метод Гаусса. Вторую группу составляют приближенные (итерационные) методы решения СЛАУ.

8. Прямые и итерационные методы. Условие сходимости итерационных методов. Метод Гаусса.

Предназначен для решения СЛАУ вида: Ах=в (1)

П редположим, что матрица А - невырожденная, т.е. det А не равно 0. В этом случае решение системы существует и оно единственно, а рассматриваемая задача считается конкретной.

Вычисление состоит из двух шагов: прямого и обратного хода. Прямой ход заключается в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода. Рассмотрим простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления. Прямой ход состоит из (n-1) шагов.

1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x₁ из уравнений с номерами i = 2,3,...,n. Предположим, что коэффициент a₁₁  0 (главный элемент первого шага).

Вычислим величины _i1=a_i1 /a₁₁(i=2,3,...,n), называемые множителями 1-го шага. Вычтем из второго, третьего и ... до n-го уравнений системы (1) первое уравнение, умноженное соответственно на  ₂₁,₃₁,..., _n1.Это позволит обратить в нуль коэффициенты при х₁ во всех уравнениях , кроме первого. В результате получим эквивалентную систему.

в которой a_ij⁽¹⁾=a_ij-_i1 a_ij , b_i⁽¹⁾=b_i-_i1 b₁.

После (n-1) - го шага исключения получим эквивалентную систему уравнений

(2)

Получается матрица А, которая является верхней треугольной. На обратный шаге из последнего уравнения системы (2) вычисляется х_n. Подставляя полученное значение в предпоследнее уравнение, вычислим значение х_n-1. Таким образом, можно вычислить значения всех неизвестных. Вычисления здесь проводятся по формулам: