10. Метод итерации и Ньютона решения сну. Теоремы о сходимости.

Метод простой итерации.

Преобразуем систему f(x_i)=0 к эквивалентному виду:

(4)

Зададим начальное приближение. Подставляя его в правую часть системы (4) получим первое приближение к решению. Повторяя этот процесс получим последовательность векторов x^k очередное приближение x. Т.о. итерационная формула примет вид:

Е сли ввести в рассмотрение векторную функцию  =(₁,₂, ...,_n), то итерационный процесс можно записать кратко

x^(k+1)=(x^(k)). (5)

По аналогии с МПИ для решения одного нелинейного уравнения рассмотрим условия работоспособности МПИ для СНУ.

Сходимость метода.

Пусть '(x) - матрица Якоби, соответствующая функции (x).

Теорема. Пусть в некоторой  - окрестности решения x¯ функции _i(x) непрерывно дифференцируемы и выполнено неравенство ||'(x)||g, где 0g<1. Тогда независимо от выбора начального приближения x⁽⁰⁾ из указанной -окрестности корня итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится со скоростью геометрической прогрессии и справедлива следующая оценка погрешности:

На практике часто используется следующая оценка окончания итерационного процесса:

||x⁽ⁿ⁾-x^(n-1)||

Метод Ньютона.

Обобщим метод Ньютона для решения одного НУ на решение системы НУ (1).

Заменим в системе (1) каждую функцию f_i (х) линейной частью ее разложения в ряд Тейлора в точке x⁽ⁿ⁾:

В результате данного преобразования перейдем к СЛАУ имеющей в матричной форме следующий вид:

где f - матрица Якоби.

П редположим, что матрица Якоби невырожденная, то есть существует обратная матрица

Тогда система (6) имеет единственное решение, которое принимается за очередное приближение x^(k+1) к решению x, то есть приближение x^(k+1) удовлетворяет равенству

выразив из полученного равенства x^(k+1), получим формулу метода Ньютона:

где A_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij.

M_ij - минор элемента a_ij , то есть определитель порядка n - 1, получающийся из A вычеркиванием i - ой строки и j - го столбца.

Сходимость метода.

Теорема. Пусть в некоторой окрестности решения x системы (1) функции f_i(x) дважды непрерывно дифференцируема и матрица f(x) невырождена. Тогда найдется такая малая окрестность решения x, что при произвольном выборе начального приближения x⁽⁰⁾ из этой окрестности, итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка:

м етод сходится с квадратичной скоростью.

Критерий окончания процесса.

11. Вопрос приближения функций. Понятие точечной и интерполяционной аппроксимации.

Если величина y является функцией аргумента x, то любому значению x из области определения соответствует некоторое значение y.

Однако, на практике часто неизвестна явная зависимость y от x, то есть ее невозможно записать в виде y = f(x). Бывают случаи, когда затруднительно использовать даже известную зависимость y = f(x). Наиболее распространенным случаем, когда вид связи между параметрами y и x неизвестен, является задание этой зависимости в виде таблицы {x_i,y_i}. В этом случае дискретному множеству значений аргумента соответствует множество значений функции {y_i} полученные либо в результате расчетов, либо в экспериментов.

Нам могут потребоваться значения функции y в точках отличных от x_i., а это может быть затруднено. Таким образом, мы приходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления значения y при любом значении параметра x, с помощью имеющейся табличных данных.

Этой цели служит задача аппроксимации функции: функцию f(x) требуется приближенно заменить некоторой функцией φ(x) так, чтобы отклонение φ(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция φ(x) при этом называется аппроксимирующей. На практике часто эта функция представляется поленомом:

В дальнейшем будем рассматривать только такую аппроксимацию. При этом коэффициенты a_i будут подбираться так, чтобы достичь наименьшего отклонения графика от данной функции.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек {x_i}, то аппроксимация называется точечной. При построении приближения на непрерывном множестве точек аппроксимация называется непрерывной (интегральной).

Точечная аппроксимация.

Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполяция. Она состоит в следующем: для заданной функции y=f(x) строится многочлен, принимающий в заданных точках x_i те же значения y_i, что и функция f(x), то есть

При этом предполагается, что среди узлов нет одинаковых. Точки x_i называются узлами интерполяции, а многочлен φ(x) - интерполяционным многочленом.

Т аким образом, близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек. Если максимальная степень интерполяционного поленома равна n-1; то говорят о глобальной интерполяции, так как один многочлен используется для замены функции f(x) на всем интервале изменения x_i . Коэффициенты a_j поленома можно найти из СЛАУ вида y_i= φ(x_i), при условии x_i=x_j, j≠i. Как правило, интерполяционные многочлены используются для аппроксимации функции в промежуточных точках между крайними узлами интерполяции, то есть при x₀ < x < x_n. Однако, иногда они используются для приближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка . Этот вид аппроксимации называют экстраполяцией.

Как видно, при интерполировании основным условием является прохождение графика интерполяционного многочлена через данные значения функции в узлах интерполяции. Однако, в ряде случаев, выполнить данное условие затруднительно или нецелесообразно.

Например, при большом количестве узлов интерполяции получается высокая степень многочлена. Кроме того, исходные данные могут содержать ошибку. Построение аппроксимирующего многочлена, с условием обязательного прохождения его графика через узлы интерполяции, означает повторение имеющейся ошибки. Выходом является исполнение апроксимирующей зависимости, график которой проходит "близко" от узлов интерполяции. Одним из видов такой зависимости является среднеквадратичное приближение функции с помощью мноочлена степень которокго меньше количества узлов апроксямации.