- •Основные понятия вычислительной математики.
- •Решение нелинейного уравнения методом простых итераций. Понятие сжимающего отображения. Теорема о сходимости. Геометрическая интерпретация. Метод простой итераций.
- •Условие сходимости метода. Понятие сжимающего отображения.
- •Усовершенствование итерационного процесса. Условия для выбора числа r. Геометрическая интерпретация Модификация итерационного процесса.
- •Геометрическая интерпретация.
- •Метод Ньютона для решения нелинейного уравнения. Условия сходимости метода. Геометрическая интерпретация. Метод Ньютона.
- •Условие сходимости метода Ньютона
- •Геометрическая интерпретация.
- •Метод секущих для решения нелинейных уравнений. Условие сходимости. Геометрическая интерпретация. Метод секущих.
- •Метод Стефенсона. Условие сходимости метода. Геометрическая интерпретация. Метод Стефенсона.
- •Геометрическая интерпритация.
- •Численные методы линейной алгебры.
- •Прямые и итерационные методы. Условие сходимости итерационных методов. Метод Гаусса.
- •Метод простой итерации.
- •Сходимость метода простой итерации.
- •Метод Зейделя.
- •Метод релаксации.
- •Метод прогонки.
- •Вычисление собственных чисел матрицы.
- •Метод итерации и Ньютона решения сну. Теоремы о сходимости.
- •Сходимость метода.
- •Метод Ньютона.
- •Сходимость метода.
- •Вопрос приближения функций. Понятие точечной и интерполяционной аппроксимации.
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа. Теорема о единственности.
- •Многочлен Ньютона с распределенными разностями.
- •Многочлен Ньютона с конечными разностями
- •Сплайны.
- •Линейная и квадратичная интерполяция.
- •Характер экспериментальных данных.
- •Метод выбранных точек и средних.
- •Метод наименьших квадратов.
- •Равномерное приближение функции.
- •Численное интегрирование и дифференцирование.
- •Общая постановка задачи Коши.
- •Метод Эйлера.
- •Метод Рунге - Кутта.
- •Метод Рунге - Кутта четвертого порядка точности:
- •Постановка 2-х точной краевой задачи.
- •Метод конечных разностей
- •Метод Адамса.
Метод простой итерации.
Для того чтобы применить метод простой итерации к решению СЛАУ Aх=b преобразуем ее к виду х=Вх+с, (3). Зададим некоторое начальное приближение x(0)=(x1(0),x2(0),..., xn(0)). Подставив его в правую часть системы (3), находим первое приближение x(1)= Bx(0)+c и так далее.
Сходимость метода простой итерации.
Если норма матрица ||B||<1, существует и единственное решение системы (3) и метод сходится при произвольном начальном приближении x(0).
Евклидова норма матрицы, имеет вид:
К ритерий окончания итерационного процесса: ||x(n)-x(n-1)|| <
Метод Зейделя.
Пусть система (1) приведена к виду (2). Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простых итераций. Идея метода состоит в том, что при вычислении на (k+1)-ом шаге хik+1, используется уже найденное xjk+1, j=1,i.
Таким образом матрица В разбивается на две треугольные матрицы: верхнюю и нижнюю.
Расчетная формула принимает вид:
x k+1 =B1 x k+1 + x k + C
или
Условия сходимости и критерий окончания итерационного процесса те же.
Метод релаксации.
Исходную систему (1) преобразуем к виду –x+Bx+c=.
Зададим начальное приближение и подставим в полученную систему. Получаем невязки (отклонения)
).
Если одной из неизвестных xs(0) задать приращение xs(0), то соответствующая невязка уменьшится на эту величину, а все остальные невязки Ri(0)(iS) увеличатся на величину bis xs(0).то есть, чтобы обратить очередную невязку Rs(1) в нуль, необходимо величине xs(0) дать приращение xs(0)= Rs(0) и получим Rs(1)=0 и Ri(1)= Ri(0) + bis xs(0).
Таким образом, идея метода состоит в том, чтобы на каждом шаге обращать в нуль максимальную по модулю невязку путем изменения значения соответствующей компоненты приближения. Процесс заканчивается, когда все невязки последней преобразованной системы будут равны нулю с заданной точностью.
Метод прогонки.
Метод предназначен для решения задач вида:
i=1, n-1
Метод состоит из 2-х частей: прямого и обратного хода. На прямом ходе рассчитываются дополнительные коэффициенты, используемые для вычисления неизвестных x:
i=0,
i=1, n-1,
i=n,
Обратный ход: xn=bn; i=0, n-1 xi=αixi+1+βi
Вычисление собственных чисел матрицы.
В процессе конструирования и анализа больших технич. систем инженеру очень часто приходится сталкиваться с задачей нахожд. собств. чисел и собственных векторов исследуемой системы, кот. характеризуют её внутренние св-ва. Математически задача нахождения собственного числа выглядит след. образом: Пусть задана квадратная матрица Аm,m. Обозначаем скалярное произведение 2-х векторов:
- норма.
Число явл. собств. числом матрицы А, если найдётся ненулевой вектор Х, для кот. вып. равенство (1) Ах = х. В этом случае вектор Х наз. собственным вектором матрицы А. Запишем (1) в др. виде: (А-Е)х=0 (2). Е – единичная матрица. Эта система будет им. ненулевое решение тогда, когда определитель матрицы det (A-E)=0 (3). Раскрывая ур. (3), мы получаем характеристическое ур. вида: . Известно, что алгебраическое ур. степени m им. m корней в области комплексных чисел, т.е люб. матрица А порядка m им. ровно m собственных значений, комплексно сопряжённые. Во многих дисциплинах сущ. задачи, связывающие с выч. всех собств. чисел. В этом случае задача наз. полной проблемой собственных значений. Однако, гораздо чаще в задачах треб. определить одно собственное значение или некоторую их часть. Такие задачи наз. частичной проблемой собственных значений. В плане постановки такой задачи существующий интерес представляет нахождение собственного числа, наиболее близкого расположенного к заданному, или нахождение наибольшего или наименьшего собственного числа. Характеристическое ур. можно решать любым численным методом с последующим понимание порядка ур. после нахождения одного из корней. Пример:
1=1; делим на -1: -2+8-13=0 → 2=4±
Описанный приём для реш. характерного ур. относят к прямым методам реш. проблем собственных значений. Их применению может воспрепятствовать высокий порядок m, когда корни характеристического ур. становятся чувствительны к погрешности и м.б потеряна достоверная инф. об m величене. Рассмотрим один из самых простых методов реш. задачи о собственных числах – степенной метод без сдвигов. Пусть требуется определить max по модулю собственное значение 1 матрицы А. 1 д.б вещественным. Возмём произвольный вектор х0 и построим из него последовательность векторов и Итерационный процесс:
Теорема: Пусть задана матрица А достаточно простой структуры, для кот. |1|>|2|≥|3|≥…≥|m|. Предположим что разложение х(0) по базису собственных векторов х0=С1е1+ С2е2+…+ Сmеm происходит с С1≠0. Тогда |k1| → |1|k→∞и справедлива следующая оценка погрешности: Исходя из формулы (4), можно записать, что х(к)=Ак х(0). Допускается следующее усовершенствование метода: y(к)=Ах(k-1), (к)=( y(к), y(к-1)), Для того. чтобы схема была работоспособной, нужно, чтобы ||x(0)||=1. Подобный подход позволяет избежать возникших в результате вычислений проблем с переполнением или потерей порядка. Одним из недостатков степенного метода без сдвигов явл. его медленная сходимость применительно ко многим прикладным задачам.