![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основные понятия вычислительной математики.
- •Решение нелинейного уравнения методом простых итераций. Понятие сжимающего отображения. Теорема о сходимости. Геометрическая интерпретация. Метод простой итераций.
- •Условие сходимости метода. Понятие сжимающего отображения.
- •Усовершенствование итерационного процесса. Условия для выбора числа r. Геометрическая интерпретация Модификация итерационного процесса.
- •Геометрическая интерпретация.
- •Метод Ньютона для решения нелинейного уравнения. Условия сходимости метода. Геометрическая интерпретация. Метод Ньютона.
- •Условие сходимости метода Ньютона
- •Геометрическая интерпретация.
- •Метод секущих для решения нелинейных уравнений. Условие сходимости. Геометрическая интерпретация. Метод секущих.
- •Метод Стефенсона. Условие сходимости метода. Геометрическая интерпретация. Метод Стефенсона.
- •Геометрическая интерпритация.
- •Численные методы линейной алгебры.
- •Прямые и итерационные методы. Условие сходимости итерационных методов. Метод Гаусса.
- •Метод простой итерации.
- •Сходимость метода простой итерации.
- •Метод Зейделя.
- •Метод релаксации.
- •Метод прогонки.
- •Вычисление собственных чисел матрицы.
- •Метод итерации и Ньютона решения сну. Теоремы о сходимости.
- •Сходимость метода.
- •Метод Ньютона.
- •Сходимость метода.
- •Вопрос приближения функций. Понятие точечной и интерполяционной аппроксимации.
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа. Теорема о единственности.
- •Многочлен Ньютона с распределенными разностями.
- •Многочлен Ньютона с конечными разностями
- •Сплайны.
- •Линейная и квадратичная интерполяция.
- •Характер экспериментальных данных.
- •Метод выбранных точек и средних.
- •Метод наименьших квадратов.
- •Равномерное приближение функции.
- •Численное интегрирование и дифференцирование.
- •Общая постановка задачи Коши.
- •Метод Эйлера.
- •Метод Рунге - Кутта.
- •Метод Рунге - Кутта четвертого порядка точности:
- •Постановка 2-х точной краевой задачи.
- •Метод конечных разностей
- •Метод Адамса.
Общая постановка задачи Коши.
При рассмотрении технических систем и технологических процессов инженеру часто приходится сталкиваться с их характеристиками, которые непрерывным образом меняются во времени t. Такие явления подчиняются физическим законам, описываемым дифференциальными уравнениями. Одной из основных математических задач, решаемых для таких уравнений, является задача Коши. Обычно, к ней приходят, когда известно начальное состояние системы в момент времени t0 и требуется предсказать ее поведение в момент времени t > t0.
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального
уравнения первого порядка:
(1)
Решением уравнения (1) является
дифференцируемая функция y(t), которая
при подстановке в уравнение (1) превращается
в тождество. График y(t)
называется
интегральной кривой рис. (1), а процесс
решения называется интегрированием.
Заметим, что уравнение (1) задает в каждой точке (t, y) тангенс угла наклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку.
Если в каждой точке (t, y) задать с помощью некоторого вектора направление касательной, определенной значением f (t, y), то получится поле направлений.
Геометрическая задача интегрирования дифференциальных уравнений состоит в нахождении интегральных кривых, которые в каждой своей точке имеют заданное направление касательной. Для того чтобы выделить из семейства решений дифференциального уравнения (1) конкретное решение, задают начальное условие: y(t0)=y0
Метод Эйлера.
Воспользуемся формулой Тейлора:
(2)
R(p+1)(t,h) - остаточный член. Если его отбросить, то получим приближенное равенство:
Если значение решения у в т. t
известно, то в силу равенства (1) можно
считать известными y’(t).
Для нахождения производных
продифференцируем
Ур. (1) по t. Получим:
В
ыражения
усложняются по мере роста порядка K.
Использование приближенной формулы (3) приводит к формуле:
Метод Эйлера является первым и простейшим
методом решения задачи Коши. Его можно
получить, если в приближенном равенстве
(4) положить p = 1, то есть оставить два
первых слагаемых.Получим:
Геометрическая интерпретация одного
шага метода Эйлера заключается в
аппроксимации решения на отрезке [tn,
tn+1] касательной y=yn+y'(tn) (t-tn), проведенной
в точке (tn,yn) к интегральной кривой,
проходящей через эту точку. Таким
образом, после выполнения
N шагов неизвестная интегральная кривая
заменяется ломаной линией, для которой
угловой коэффициент kn
очередного n - го звена равен значению
f (tn,
yn).
(рис. 3) Погрешность
аппроксимации в этом случае имеет вид:
Метод Рунге - Кутта.
Является наиболее популярным из одношаговых методов. Пусть y (t) - решение дифференциального уравнения y' = f (t,y), удовлетворяющее условию y (tn) = yn. Из формулы Ньютона - Лейбница
следует:
(6)
Если интеграл в формуле (6) можно было вычислить точно, то получилось бы простое выражение. Однако, в действительности это невозможно, поэтому будем строить приближенную формулу, заменив интеграл квадратурной суммой. Введем на отрезке [tn,tn+1] m вспомогательных узлов
где
Заменяя, входящий в равенство (6) интеграл квадратурной суммой с узлами tn(1), ... ,tn(m), получим приближенное равенство:
(7)
Однако воспользоваться равенством (7)
нельзя, т.к. значения y в
т.
неизвестны. Чтобы найти их запишем:
(8)
Заменяя в этом равенстве для каждого i входящий в него интеграл соответствующей квадратурной формулой с узлами tn(1), tn (2), ... , tn(i-1), получим приближенные равенства:
позволяющие последовательно вычислить приближения k y(tn(2)), ..., y(tn(m)). Обозначим через yn(i) вспомогательные величины, являющиеся приближениями k y(tn(i)). Пусть kn(i) = f (tn(i), yn(i)) - приближение к значению углового коэффициента k в точке tn(i). В этом случае расчетные формулы примут вид:
Если выбросить вспомогательные величины yn(i), то те же формулы можно записать в виде:
Полученный метод носит название m - этапного метода Рунге - Кутта.
Выбор конкретных значений параметров
осущ. исходя из различных соображений,
одним из кот. м. б. желание сделать порядок
аппроксимации максимально возможным.